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Vierter Abschnitt. Substitutionsmethoden. I.
a. Die Substitutionsmethode, durch Ferrari und Vieta
begründet, durch Tschirnhausen, Euler, Lagrange und Be-
zout weiter ausgebildet, besteht darin, dass man eine geeig
nete algebraische Function niedrigeren Grades, bestehend aus der
Hauptunbekannten x und einer oder mehreren anderen neuen Haupt
grössen, also allgemein F(x, y, z, «...) = 0 in die gegebene Func
tion X einführt und von dieser ebenso viele neue Gleichungen
(Resolventen)*) Y = 0, Z — 0, U = 0 u. s. w. absondert, so dass
durch diese Theilung die Auflösung des übrigen Theiles der Function
X=0, welcher die Reducirte (reduite-nach Lagrange**), ridotta
ital.) heisst, ermöglicht, d. h. auf die einfacherer Gleichungen redu-
cirt und von der Ausführung einfacherer Operationen abhängig
gemacht wird. Dieses Verfahren ist durchweg ein künstliches und
setzt zur Entdeckung neuer Methoden die Anwendung mannigfacher
Kunstgriffe voraus.
b. Die Combinationsmethode, begründet durch Vander
monde und Lagrange, ist ein einfacheres natürlicheres Verfahren.
Die verschiedenen Methoden dieser Art lassen deutlicher ihren inneren
Zusammenhang, sowie die Beziehungen der Hülfsgleichungen zu
den Wurzeln der Hauptgleichung erkennen, und namentlich auch
den Grad derselben im Voraus bestimmen. Die Combinations
methode besteht darin, dass man für gewisse einfache Combina-
tionen der noch unbekannten Wurzeln x if x 2 , x 3 , x± u. s. w. eine
oder mehrere neue Hauptgrössen y, z, u. s. w. substituirt und für
diese aus den Coefficienten der ursprünglichen Gleichung X = 0
eine oder mehrere Hülfsgleichungen (Resolventen) Y= 0, Z—0,
u. s. w. ableitet, welche sich leichter als die gegebene lösen lassen,
mithin von einem niedrigem Grade als diese sein müssen. Die Com-
binationen einiger oder aller Wurzeln x 1} x 2 , x 3 u. s. w., welche sich
zur Bildung von Resolventen besonders eignen, werden Typen***)
genannt. Dieser Ausdruck ist zuerst von Vandermonde gebraucht.
*) Die Bezeichnung „Resolvente“ rührt von Euler her. Man vergl. Euler,
De formis radicum etc. Comm. Acad. Petrop. vet. VI. p. 223. 1739.
**) Lagrange, Reflexions sur la resolution algébrique des équations.
Nouv. Mém. de l'acad. Berlin, 1772 et 1773.
***) Blomstrand, De methodis praecipuis etc. pg. 55.
