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Erster Abschnitt. Allgemeine Eigenschaften. II. 
Beweis. Da die Wurzeln im Allgemeinen verschieden sind, 
so kann der Ausdruck X oder (x — x x ) X 1 nur dann durch die 
Substitution von x — x 2 gleich Null werden, wenn X L = 0 ist. 
Da ferner x — x 2 kein Factor von x — x x ist, so muss es ein 
Factor des Quotienten X x sein; also x 2 eine Wurzel von X x = 0. 
Durch Division des Quotienten X x erhält man demnach ein Poly 
nom vom n — 2 ten Grade: 
X 2 = x n ~ 2 + a x x n ~ 3 -f- • • • + ( h x + r i, 
welches gleich Null gesetzt eine dritte Wurzel x 3 haben kann und 
so fort. Die Bildung der Quotienten numerischer Gleichungen wird 
in folgender Weise bewerkstelligt. 
Zahlenbeispiel. 3x i — 4x 3 — 14x 2 — 4x -f- 3 = 0. Wur 
zeln dieser Gleichung sind x x = — 1, — 1, 3, Man dividire 
also zunächst durch x — x x — x -{- 1, dann durch x -f- 1, durch 
x — 3 und x — 
Schema der Berechnung: 
3 
— 4 
— 14 
— 4 
— 1 
3 
— 7 
— 7 
+ 3 
— 1 
3 
— 10 
+ 3 
(0) 
+ 3 
3 
— 1 
(0) 
+ i 
3 
(0) 
Die einzelnen Quotienten der Division sind also: 
X x = 3x 3 — Ix 2 — Ix + 3 
X 2 = 3x 2 — lOx +3 
X 3 — 3x — 1 
X x = 3. 
§ 4. Die complexen Wurzeln und die trinomiscken Factoren. 
Lehrsatz. Ist x = a -j- /?]/•— 1 eine complexe Wurzel der 
Gleichung X — 0, so ist auch der conjugirte Werth a — ß ]/— 1 
eine Wurzel, und das Polynom X durch den trinomischen Factor 
a 2 — 2a£ + O 2 -f ß 2 ) == (x — a — ß ]/^T) (x — a + ß V^l) 
ohne Rest theilbar. 
Wenn man nämlich für x zunächst den ersteren Werth a ßi 
in die Function X einsetzt, so erhält man nach Vereinigung der 
reellen und imaginären Glieder eine Gleichung von der Form: