§ 144. Verallgemeinerung der Cardani’sclien Formel. 
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Hieraus folgen die Gleichungen 
= 
ßß ßß 2 'ß ßß j ßß ßß 
x x — 2x 2 + x 3 
ßß^ ßß^ 2 Jß^ Qß. ^ + x 2 x 3 
x 2 — 2x 3 -f- x i 
Xl x 2 - 2x. 2 x 3 + x v x 3 
ry> 9 ''V J I /Y> 
iX/g U tXyj j iÄ.'.) 
/v> /V» rp 
iAy^ «X/g «X/g 
/y /y /y» 
et 1 ^2 «^3 
/y> /y 1 /y 
tX/J tX/g «X/g 
— — 2 — -f- — 
Oß OC^ OCn 
x x 
— 2x.j 
+ X 3 
1 
1 
, 1 
— 2 — 
H— 
«2 
x 3 
x, 
x 2 
2 x 3 
+ X 1 
1 
1 
, 1 
— 2 — 
H— 
x 3 
x 2 
x. 2 
x 3 — 2x 1 -j- a? 2 
Dies sind zugleich die Wurzelformen der kubischen Covariante. 
Sie liefern unmittelbar die aufgestellten Doppelverhältnisse. 
Wenn die Wurzeln der Hauptgleichung reell sind, so sind es 
auch die Wurzeln von C$ } 3 (V) = 0; ist eine Wurzel reell, die andere 
conjugirt complex, so besitzt auch die Gleichung = 0 solche 
Wurzeln; sind alle Wurzeln gleich, so verschwindet die Covariante 
identisch, d. h. s ist willkürlich; ist endlich eine Wurzel das arith 
metische Mittel der beiden andern, so wird s— oo. 
Wir werden später bei der Untersuchung der biquadratischen 
Gleichungen sehen, dass die kubische Covariante C 3 , 3 im innigen 
Zusammenhänge mit der kubischen Invariante HF der biquadratischen 
Gleichungen steht. 
§ 144. Die Verallgemeinerung der Cardani’sclien Formel nach 
Lagrange. 
Die Wurzelform der vollständigen kubischen Gleichung lässt 
sich leicht direct aus der Cardani’schen Formel ableiten, indem man 
die Gleichung durch Variation auf eine andere reducirt, in welcher 
das zweite Glied fehlt. 
Gegeben sei 
x 3 -f- ax 2 -j- bx -f- c = 0. 
Man bilde daraus mit Anwendung der Vieta’schen Emendation die 
unvollständige Gleichung 
x 3 -f- px -f~ 0. = 0>- 
indem man x = x a setzt. Dies gibt