Full text: Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen

§ 193. Reduction auf die kanonische Form. 
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X = y l x + d 1 y, Y = y 2 x -f- d 2 y, 
so ist 
Ä(y x x + d.yf + D(y 2 x + ö 2 y) 3 
= ax 3 -j- 3bx 2 y -f- Sexy 2 -j- dy 3 . 
Die Bestimmungsgleichungen sind alsdann 
A + y 2 3 D = a , ö\ 3 A -f- d 2 3 D = cl, 
(rW ~ = Yid — d 3 a , 
(n 3 ^2 3 — = d 2 3 a — y 3 d ; 
woraus folgt 
D 7i 3 d — S x 3 a 
A y 2 3 d— S 2 3 a 
Zahlenbeispiel. Es soll die Form 4a; 3 -f- 9a; 2 -f- 18a; -j- 17 
/\ 
oder (4, 3 ; 6, 17) (x, l) 3 auf die kanonische Form 
ax 3 + jdy 3 
gebracht werden. 
Die quadratische Covariante ist 
15a; 2 + 50a; + 15 = 5(a: + 3)(3a: + 1). 
Die Bestimmungsgleichungen für A und D sind demnach 
A -f 27 D = 4 , 27 A + D =17 ; 
D:A= 1:5. 
Die kanonische Form ist demgemäss 
5(a; + 3) 3 + (3a; + l) 3 , 
und die Wurzeln der kubischen Gleichung 
4 a; 3 + 9a; 2 + 18a: + 17 = 0 
bestimmt durch die lineare Gleichung 
(3a; + 1) + Yi . V 5 ix -f 3) = 0 , 
3 f— 
wo an die Stelle von y 1 nacheinander 
1, Ji--i + iy=3, J, Y-- 
zu setzen ist. 
Salmon macht weiter die Bemerkung, dass nicht jede kubische 
Form durch reelle Transformation in die kanonische Form über 
geführt werden könne, welche einen reellen Factor und zwei com- 
plexe Factoren habe und also nicht mit einer kubischen Form 
von drei reellen Factoren identisch sein könne. 
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