§ 193. Reduction auf die kanonische Form.
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X = y l x + d 1 y, Y = y 2 x -f- d 2 y,
so ist
Ä(y x x + d.yf + D(y 2 x + ö 2 y) 3
= ax 3 -j- 3bx 2 y -f- Sexy 2 -j- dy 3 .
Die Bestimmungsgleichungen sind alsdann
A + y 2 3 D = a , ö\ 3 A -f- d 2 3 D = cl,
(rW ~ = Yid — d 3 a ,
(n 3 ^2 3 — = d 2 3 a — y 3 d ;
woraus folgt
D 7i 3 d — S x 3 a
A y 2 3 d— S 2 3 a
Zahlenbeispiel. Es soll die Form 4a; 3 -f- 9a; 2 -f- 18a; -j- 17
/\
oder (4, 3 ; 6, 17) (x, l) 3 auf die kanonische Form
ax 3 + jdy 3
gebracht werden.
Die quadratische Covariante ist
15a; 2 + 50a; + 15 = 5(a: + 3)(3a: + 1).
Die Bestimmungsgleichungen für A und D sind demnach
A -f 27 D = 4 , 27 A + D =17 ;
D:A= 1:5.
Die kanonische Form ist demgemäss
5(a; + 3) 3 + (3a; + l) 3 ,
und die Wurzeln der kubischen Gleichung
4 a; 3 + 9a; 2 + 18a: + 17 = 0
bestimmt durch die lineare Gleichung
(3a; + 1) + Yi . V 5 ix -f 3) = 0 ,
3 f—
wo an die Stelle von y 1 nacheinander
1, Ji--i + iy=3, J, Y--
zu setzen ist.
Salmon macht weiter die Bemerkung, dass nicht jede kubische
Form durch reelle Transformation in die kanonische Form über
geführt werden könne, welche einen reellen Factor und zwei com-
plexe Factoren habe und also nicht mit einer kubischen Form
von drei reellen Factoren identisch sein könne.
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