§ 217. Die algebraischen Formen der Biquadrate. 579 
ist, so verschwindet zugleich _D 3 * mit D 4 * und die Resolvente nimmt 
folgende Form an: 
y 3 — 3(j> 2 -f- 12r)y (+) 2(p 2 -f- 12r)~ = 0 . 
Bildet man hiervon die Gleichung der Wurzeldifferenzen, so 
resultirt 
Z = z 3 — 9(p 2 -{- 12 r)z = 0 . 
Daraus folgt — 0, d. h. y hat zwei gleiche Wurzeln. Es 
ist nämlich 
«/1=2/2 = (+) V/+12r , y 3 = (+) 2 ]/i> 2 + 12r , 
und demgemäss 
a? 2 und =y]/—|i?(+)|y?+lTr , 
und = y 2]/— 12r 
— ]/—|iH+)|yi> 2 +12r • 
§217. Die algebraischen Formen der vollständigen biquadratischen 
Gleichungen. 
Nachdem in den vorhergehenden Paragraphen die bekanntesten 
Methoden der Auflösung derjenigen biquadratischen Gleichungen 
entwickelt worden sind, in welchen das zweite Glied fehlt, gehen 
wir nunmehr an das Geschäft der Auflösung der allgemeinen bi 
quadratischen Gleichung der Form 
fix) — x^ -f- ax 3 -|- bx 2 + cx -(- d — 0, 
und der Cayley’schen Form 
f{x) — (a, b, c, d,e) {x, l) 4 = ax* -f- 4bx 3 + Sex 2 -f- 4:dx + e = 0 . 
Zu diesem Zwecke stellen wir zunächst die algebraischen 
Formen zusammen, welche für die Discussion der Methoden und 
überhaupt für ein tieferes Eindringen in die Lehren der neuern 
Algebra von hervorragender Bedeutung sind. 
1. Die variirten Gleichungen erster und zweiter Ordnung. 
Substituirt man x — x -f- z, wo z die Variation der Un 
bekannten ist, so erhält man (§ 14) die Variirte der ersten 
Ordnung: 
37*