Full text: Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen

§ 252. Eliminationsmethode von Sylvester und Hesse. 
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(v 2 — av -j- 2u -f- b)x± — (au — c)x 3 — (u 2 — d)x 2 = 0, 
x± -f- vx 3 -f- ux 2 = 0, 
(vn — au)x± -f- (u 2 — bu -f- d)x 3 — (cu — dy)x 2 === 0. 
Bildet man hiervon die Determinante, so erhält man als Fi 
nalgleichung die frühere Gleichung in u: 
u 4 — \a(v — a) -f- 2b\u 3 -f- [b(v 2 — av -f- b) + 3cv — 2ac -j- 2d]u 2 
— [c(v 3 — av 2 -{- bv — c) -f- d(4v 2 — 3av) -f- 2bd]u v 
-J- cl(v 4 — av 3 -f- bv 2 — cv -f- d) — 0. 
Dieselbe lässt sich in der oben vorgeschlagenen Weise ver 
allgemeinern, indem man u — w — y substituirt und nach Poten 
zen von y entwickelt, wie folgt: 
y 4 — [4 w — a(v — a) — 2b]y 3 
-f- \Qw 2 —3(av — a 2 -\-2b)w-\-b(v 2 —av-\-b)-\-ocv — 2ac-\-2d\y 2 
— [4io 3 — 3(av—a 2 -\- 2b)w 2 ~\-2 {b(v 2 —av-\-b)-{-?>cv—2ac-\-2d)w 
— {cv 3 — av 2 -j-bv — c) -|- d(Av 2 — 3 av -f- 2b) } \y 
-j- \iv 4 —(av — a 2 -\~2b)iv 3 + {b(v 2 — av-\-b)-\-?>cv-2ac-\-2d) iv 2 
— {c(v 3 — av 2 -j- bv — c) -J- d(4v 2 — 3av -j- 2b)} iv 
-j- d(v 4 — av 3 -f- bv 2 — cv -(- d)] = 0. 
Diese Gleichung nimmt die kanonische Form 
y 4 + A.y 2 + B «= 0 
an, wenn man den zweiten und den vierten Coefficienten gleich 
Null setzt. Eliminirt man aus diesen beiden Bestimmungsgleichungen 
für v und w die letztere Grösse, so erhält man die Resolvente XX. 
1 c 
Ist a — 0 und wird v — _ gesetzt, so geht dieselbe 
8 z ö ’ ° 
über in die Resolvente von Cartesius und Euler. 
§ 253. Transformation der Gleichung in eine andere, in welcher 
drei Zwischenglieder fehlen, nach Tschirnhausen, Lagrange, 
Jerrard und Hermite. 
In § 51 ist das Theorem bewiesen worden, dass man durch 
Substitution einer algebraischen Function im Stande ist, das zweite, 
dritte und vierte Glied einer biquadratischen Gleichung zum Ver 
schwinden zu bringen und dass es hierzu nur der Auflösung einer 
kubischen Resolvente bedarf. Substituiren wir nämlich 
tx 3 -f - vx<2 “f~ ux ~b ( w — 2/) = 0, 
so wird die Determinante 
Matthiessen, Grundzüge d. ant. u. mod. Algebra. 
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