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Vierter Abschnitt. Substitutionsmethoden. V.
x x und x 2 = ~
V±Y- ri 2 -2(b + ty
x 3 und x 4 = — ^
n + ]/— v 2 — 2 ( & — ~)
§ 258. Methode der Substitution zweier linearer Functionen der
Unbekannten nach Franke und Job*).
Man gebe von der Bemerkung aus, dass das complexe Binom
a -f- ß Y— 1 die allgemeinste Form der Wurzel sei. Es ist be
kannt, dass auch zugleich der Ansdruck a — ß ]/— 1 eine zweite
Wurzel ist. Man substituiré demgemäss
x — ( a ¿ ß V~~ l) s== ~ a (l ¿ j/ — f s) = 0,
wofür man auch der Kürze wegen setzen kann
x — z (l + ]/— n) .
Setzt man dies in das Polynom f(oc) ein, so zerfällt dasselbe in
einen reellen und einen imaginären Theil, welche einzeln gleich
Null gesetzt, zwei Bestimmungsgleichungen für z und n abgeben.
Man findet auf diese Weise
(z 4 -f- az 3 -f- bz 2 cz d) — nz 2 (<oz 2 -|- 3az -f- b) -j- w 2 ^ 4 = 0,
(4£ 3 -f- -f- %bz -f- c) — nz 2 (4z -f- a) — 0.
Das Princip dieser Methode stimmt demnach mit demjenigen überein,
wonach die Trennung der reellen und complexen Wurzeln vorge
nommen wird (cf. Eytelwein, Grundlehren I. § 133. 1824).
Setzt man den Werth von nz 2 aus der zweiten in die erste
Gleichung ein, so erhält man die Resolvente XXIV., welche, wie
schon früher gezeigt worden, die Gleichung der halben Wurzel
summen ist. Da nämlich
X 1 = g l (1 + V~ U l) 7
x 2 = Z x (1 — ]/— nß)
ist, so erhält man durch Addition dieser beiden Gleichungen sofort
— (x x -J- x 2 ) = z x .
Subtrahirt man beide Gleichungen, so ergibt sich
*) Franke, die Elemente der Zahlenlehre. § 140. Leipzig 1850.
Job, Beiträge zur Auflösung der Gleichungen. Dresden 1864.