Full text: Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen

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Vierter Abschnitt. Substitutionsmethoden. V. 
x x und x 2 = ~ 
V±Y- ri 2 -2(b + ty 
x 3 und x 4 = — ^ 
n + ]/— v 2 — 2 ( & — ~) 
§ 258. Methode der Substitution zweier linearer Functionen der 
Unbekannten nach Franke und Job*). 
Man gebe von der Bemerkung aus, dass das complexe Binom 
a -f- ß Y— 1 die allgemeinste Form der Wurzel sei. Es ist be 
kannt, dass auch zugleich der Ansdruck a — ß ]/— 1 eine zweite 
Wurzel ist. Man substituiré demgemäss 
x — ( a ¿ ß V~~ l) s== ~ a (l ¿ j/ — f s) = 0, 
wofür man auch der Kürze wegen setzen kann 
x — z (l + ]/— n) . 
Setzt man dies in das Polynom f(oc) ein, so zerfällt dasselbe in 
einen reellen und einen imaginären Theil, welche einzeln gleich 
Null gesetzt, zwei Bestimmungsgleichungen für z und n abgeben. 
Man findet auf diese Weise 
(z 4 -f- az 3 -f- bz 2 cz d) — nz 2 (<oz 2 -|- 3az -f- b) -j- w 2 ^ 4 = 0, 
(4£ 3 -f- -f- %bz -f- c) — nz 2 (4z -f- a) — 0. 
Das Princip dieser Methode stimmt demnach mit demjenigen überein, 
wonach die Trennung der reellen und complexen Wurzeln vorge 
nommen wird (cf. Eytelwein, Grundlehren I. § 133. 1824). 
Setzt man den Werth von nz 2 aus der zweiten in die erste 
Gleichung ein, so erhält man die Resolvente XXIV., welche, wie 
schon früher gezeigt worden, die Gleichung der halben Wurzel 
summen ist. Da nämlich 
X 1 = g l (1 + V~ U l) 7 
x 2 = Z x (1 — ]/— nß) 
ist, so erhält man durch Addition dieser beiden Gleichungen sofort 
— (x x -J- x 2 ) = z x . 
Subtrahirt man beide Gleichungen, so ergibt sich 
*) Franke, die Elemente der Zahlenlehre. § 140. Leipzig 1850. 
Job, Beiträge zur Auflösung der Gleichungen. Dresden 1864.
	        
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