§ 25. Die Gleichungen der Wurzelkuben. 
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x n -f- ax n ~~ 1 + bx ,l ~ 2 -f- cx n ~ 3 -f- dx n ~^ t — 0, 
x n -f- aJ x x n ~ x -f- b J 2 x n ~~ 2 -f- cx n ~ 3 -f- clJ\x n ~ l -j- • • • = 0 ; 
x n -f- ciJ % x n ~ x -f- bJ x x n ~ 2 -f- cx n ~ 3 -f- dJ 2 x n ~ l -{-••• = 0 
mit einander, wo J t und J 2 die complexen Kubikwurzeln der Ein 
heit sind, nämlich 
J* 
.'.i 
= — Ì + 2 3 ’ - . 
Die Gleichung der Wurzelkuben wird gefunden gleich 
x %n + ( ft3 — 3a& -j- 3c)x 3n ~~ 3 -{- (b 3 -f- 3a 2 d — 3abc — 3ae — 3bd 
-f- 3c 2 + 3f)x 3n ~ 6 -{- (c 3 + 3cdg — dabf— 3ace -f- 3ad 2 — 3ab 
+ 3& 2 e — 3bcd — dbg + Gef — 3de + 3i)x 3n ~ 3 -( h f = 0. 
Um das Gesetz der Bildung deutlicher hervortreten zu lassen, 
wollen wir die Columnen hersetzen, welche bei der Multiplication 
gebildet werden: 
; 3re -f-(2 c—ba) 
-a(—b-\-cd) 
4-b{—a) 
+<1) 
C 3n-s+(2f—ea-db+c 2 ) 
-j - £¡4—6 4~2da—cb) 
+b(—d—ca+b 2 ) 
4~c(2c—bd) 
+d(-b+a 2 ) 
4-e(—a) 
+№ 
0 3n—6 4_(2«—ha—gb-\-2fc—ed) 
4~ «(■—h-\-2ga—/*6—ec—{—d 2 ) 
-\-b(—g—fa-\-2eb—de] 
4- c(2f— ea—db-\- c 2 ) 
4~d(^—c4~2da—cb) 
4-e(—d—ca-\-b 2 ) 
-\-f(2c—bd) 
4-i/(—&+« 2 ) 
4~ä(—«) 
+¿(1) 
Encke hat im Astronomischen Jahrbuche für 1841 eine andere 
Methode angegeben, die Gleichung der Wurzelkuben der Stamm 
gleichung zu bilden. Er gründet dieselbe auf die identische Gleichung 
(p 4- ff 4" r ) 3 =i> 3 4~ ff 3 4“ r * 4- 3 (p 4- ff 4- r ) (pff 4~F r + d r ) — dpqr. 
Diese Gleichung hat für p 4~ ff 4~ r — 0 die zweite Relation 
p 3 q 3 y 3 — 3pqr — 0 
-zur Folge. Man theilt demgemäss die Stammgleichung in folgende 
drei Theile: 
x n 4~ cx n ~ 3 -f fx n ~ 3 4~ 9 4~ ‘ — P) 
ax n ~ x 4- dx n ~~^ 4~ gx n ~ 7 4- • • • = ff; 
bx n ~ 2 4~ ex n ~ :5 4“ hx n ~~ 8 -[-••• — r. 
Diese Gleichungen geben, jede für sich kubirt und auch mit 
'4-