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Vierter Abschnitt. Substitutionsmethoden. V. 
§ 275. Methode der Auflösung der biquadratischen Gleichungen 
nach Darboux*). 
Das Princip, von welchem Darboux ausgeht, führt zu den 
selben Formeln, wie sie Aronhold gegeben hat, also zu dem Aus 
drucke der Wurzel durch die Summe dreier Radicale. Er leitet 
davon auch den Ausdruck der Wurzelfunction einer biquadratischen 
Gleichung ab, für welche die quadratische Invariante verschwindet. 
Es ist bekannt, dass die Bestimmung der gemeinschaftlichen 
Puncte zweier Curven zweiten Grades von der Auflösung einer 
Gleichung vom vierten Grade abhängig ist. Umgekehrt kann man 
die Auflösung biquadratischer Gleichungen abhängig machen von 
der Bestimmung der gemeinschaftlichen Puncte zweier Kegelschnitte. 
Seien nun 
cp = a 0 x 2 -f- a. 2 y 2 -{- a 3 z 2 2a 3 yz -f- 2a. 2 xz -f- 2a v xy 
cp = y 2 — 4xz, 
zwei quadratische Formen. Man bilde die zusammengesetzte Function 
cp — Xcp 
= a 0 x 2 + 2 a x xy + (a 2 — X)y 2 + 2(a 2 + 2X)xz + 2a 3 y 3 + aj 2 , 
indem man folgende identische Gleichungen bildet: 
0 = — (y — ly) + [ooaj+a, x + [«, x-\- (a 2 -X) y-\-a z z] y -f [(« 2 +21) x+ajj-f- a^z] z 
0 = — K«+«i Z/+(«2+ 2;l >] + «0 x 
0 = -[a 1 x+(a 2 -X)y + a 3 z] -f-a x x 
0 = — —I— 2^)^”\~^4^1 H - (^2 
+ «i y 
+ («2—l)y 
+ a 3 y 
+ {a 2 + 2X)z 
+ a 3 z 
+ a t z. 
Setzen wir 
[ a 0 x + a x y + (a 2 -f 2X)z\ = X, 
[ a x x + K — X)y + a z z ]= Y , 
[(a 2 + 2X)x + a 3 y + a±z ] = X, 
so muss die Determinante jener vier Gleichungen von selber ver 
schwinden, also 
— (cp — X cp) X 
Y Z + 
a i ( a -j + 2X). 
h 
(a. 2 — X) a 3 
a 3 a 4 
sein, oder 
*) Darboux, Sur la résolution de l’équation du quatrième degré. Journ. 
de matbém. par Liouville XXXVIII. p. 220. 1873.