§ 281. Theorem yon Janfroid. 
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Dies vorausgesetzt, multiplicire man alle Glieder mit a, worauf sich 
die Gleichung auf die Form 
(<ax 2 + 2bx -f- c) 2 -f- 4(ac — b 2 )x 2 -f- 4(ad — bc)x -f- (ae — c 2 ) — 0 
bringen lässt. 
Mit Berücksichtigung von (1) kann das erste Quadrat nicht 
verschwinden für irgend einen reellen Werth von x. Was das 
übrige Trinom zweiten Grades betrifft, so ist nach der Voraussetzung 
(1) sein erstes Glied positiv, und weiter hat man nach (2) 
(ad — bc) 2 — (ac — b 2 )(ae — c 2 ) < 0 . 
Dies Trinom bleibt also ebenfalls positiv für jeden reellen Werth 
von x. Die ganze Function f(x) kann also für keinen reellen Werth 
von x gleich Null werden und darum ist x jedenfalls complex. 
§ 282. Die Gleichung der quadrirten Differenzen und die Be 
dingungen der Realität der Wurzeln nach Lagrange*). 
Geht man aus von der Form 
x 4 -f- ax 3 -f- + cx -j- d — 0 
und substituirt zur Fortschaffung des zweiten Gliedes x — y— j- a, 
so resultirt die Form (§ 17): 
oder kurz 
if + By 2 + Cy + I) = 0 . 
Die Differenzengleichung ist vom sechsten Grade, also 
0 6 + «0 5 + ßz* + yz 3 + dz 2 + £2 + £ = 0 . 
Lagrange findet nun 
a = SB, 
ß = 22B 2 -f- 81) , 
y = lSB 3 - 16BB — 26C 2 , 
d = 11B* + 24I? 2 Z> — 7 . 16D 2 -f 3.1 SBC 2 , 
£ = 4J5 5 + 2.21B 2 C 2 + 8.21C 2 D — 3.4 d BI) 2 -f 2.4 2 j5 3 L> , 
% = 4 4 D — 2 3 .4 2 J5 2 Z) 2 -J- 4 2 .3 2 G 2 J3D + 4 2 I> 4 Z) — 4JF0 2 —3 3 G i4 . 
*) Lagrange, Traité sur la résolution des équations numériques. Art. III. 
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