§ 29. Girard’s Formel für die Potenzsummen. 
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sich die Summation auf alle positiven ganzen Zahlen einschliesslich 
Null für s x s 2 s 3 . . . s n , welche der Gleichung 
Sj -f- 2 s 2 -f- -f- • • • -f- ns n = m 
genügen. 
Beweis von Unferdinger. Es seien • • • OC^i die n reellen 
oder imaginären Wurzeln der Gleichung 
fix) — x n -\- ax n ~^ -j- bx n ~ 2 -f - • • • + sx + t = 0 
und 
ß /y* rn I /y» m I rp m I . . . I rp m 
tX/jL *^2 'T '*'& '"n U n J • 
Setzt man x = —, so ist 
V 7 
Y = 1 -f- ay -f- by 2 -f- cy 3 + •••-{" % w -f- ' * * + ty n 
= (1 — X x y) (1 — x 2 y) (1 — x 3 y)... (1 — x n y) = 1 + e. 
Ferner ist mit n maliger Anwendung der Formel 
log nat t _* = *>/ + y* 2 2/ 2 + y *V H 7 
log nat ~ = [1] y + | [2] / + i [3] f + • • • 
Andrerseits ist auch 
log nat Y = l°gnat r |_- = — £ +y3 2 — y* 3 H = ^(—l) r 
wobei immer so kleine Werthe von y resp. von z denkbar sind, 
dass beide Reihen convergiren. Um auch die zweite Entwicklung 
von log y in eine Potenzreihe nach y zu verwandeln, benutzen 
wir den polynomischen Lehrsatz. Bezeichnen s 1} s 2 , s 2 , . .. s n solche 
ganze positive Zahlen inclusive Null, welche die Bedingung 
S 1 “f" S 2 “b S 3 “h ' * * ~b S n — r 
erfüllen, so ist bekanntlich: 
z r = 2 — . a s ' . b* .c h ... t s n . «*i+2s 2 + 3*.+•■•**„ ; 
«i! s 2 ! s 3 ! . . . s ra! 
wobei sich die Summation auf alle Werthe von s bezieht, welche 
die vorhergehende Bedingungsgleichung erfüllen. Hierdurch wird 
log K = A 1 2? (— lF ^ ! a s ‘ . b Sl t s n. 
ö Y i v ' «G s 2 ! s 3 ! . . . s n i 
Wenn diese doppelte Summation nur jene Glieder zusammenfassen 
soll, welche die Potenz y m enthalten, so kann dieselbe wieder auf 
eine einfache Summation reducirt werden, wenn man r durch