Full text: Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen

§ 307. Methode der Wurzelsummen. 
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Wegen gefunden werden, z. B. durch Elimination von z aus der 
bikubischen Gleichung [z e ] = 0 und der quadratischen 
z 2 -f- as -f- y) = 0. 
Man dividire zu diesem Zwecke diesen quadratischen Factor 
in die bikubische Gleichung und setze den Rest gleich Null. Der 
Quotient sei # 4 -J- Az 3 -j- Bz 2 -{- Cz -f~ D. Führt man die Multi 
plication dieser beiden Polynome aus und setzt Glied für Glied 
einander gleich, so ergeben sich die Coefficienten A, B, C, I) aus 
folgenden sechs Bestimmungsgleichungen: 
I. A -j- a = 3a, 
II. B + aA + r] = 3a 2 + 26, 
III. C -f- all -f- Arj — a 3 + 4ab, 
IV. B-faC + Brj = 2a 2 b + ac -f b 2 - 4c?, 
V. aD -{- Crj — a 2 c ab 2 —> 4ad, 
VI. Br] — — («a 2 d — abc -j- c 2 ); 
A = 2a, B — a 2 -f- 2b — rj, C=2ab— ar], 
B — ac b 2 — Aä — 2brj -f rf. 
Die sechste Gleichung liefert in Verbindung mit B die kubische 
Resolvente XX. in der Form XVI.: 
rf — 2brf -f- (ac -f-b 2 — Ad) rj -)- (a 2 d — abc -f- c 2 ) = 0 . 
Setzt man dagegen 
z 2 -f- az -j- b -f- r] = 0, 
so erhält man die Resolvente XIII.: 
rj 3 — brf -(- (ac — Ad)r\ — (a 2 d — Abd -f- c 2 ) == 0, 
worin rj die Function x x x 2 -j- x 3 x±, also einen neuen Untertypus 
bezeichnet. 
Man findet nun mittels der Wurzelwerthe von z die gesuchten 
Wurzeln, wie folgt: 
x t und x 2 = — (+ a -f- z x + i 8 %) ? 
x 3 und == y (— a — + z 2 -J- z 3 ) . 
§ 308. Eine andere Darstellungsweise der Gleichung der 
Wurzelsummen. 
Gegeben sei die vollständige Gleichung 
x l 4- ax z -j- bx 2 -j- cx -f- d — 0
	        
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