§ 307. Methode der Wurzelsummen.
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Wegen gefunden werden, z. B. durch Elimination von z aus der
bikubischen Gleichung [z e ] = 0 und der quadratischen
z 2 -f- as -f- y) = 0.
Man dividire zu diesem Zwecke diesen quadratischen Factor
in die bikubische Gleichung und setze den Rest gleich Null. Der
Quotient sei # 4 -J- Az 3 -j- Bz 2 -{- Cz -f~ D. Führt man die Multi
plication dieser beiden Polynome aus und setzt Glied für Glied
einander gleich, so ergeben sich die Coefficienten A, B, C, I) aus
folgenden sechs Bestimmungsgleichungen:
I. A -j- a = 3a,
II. B + aA + r] = 3a 2 + 26,
III. C -f- all -f- Arj — a 3 + 4ab,
IV. B-faC + Brj = 2a 2 b + ac -f b 2 - 4c?,
V. aD -{- Crj — a 2 c ab 2 —> 4ad,
VI. Br] — — («a 2 d — abc -j- c 2 );
A = 2a, B — a 2 -f- 2b — rj, C=2ab— ar],
B — ac b 2 — Aä — 2brj -f rf.
Die sechste Gleichung liefert in Verbindung mit B die kubische
Resolvente XX. in der Form XVI.:
rf — 2brf -f- (ac -f-b 2 — Ad) rj -)- (a 2 d — abc -f- c 2 ) = 0 .
Setzt man dagegen
z 2 -f- az -j- b -f- r] = 0,
so erhält man die Resolvente XIII.:
rj 3 — brf -(- (ac — Ad)r\ — (a 2 d — Abd -f- c 2 ) == 0,
worin rj die Function x x x 2 -j- x 3 x±, also einen neuen Untertypus
bezeichnet.
Man findet nun mittels der Wurzelwerthe von z die gesuchten
Wurzeln, wie folgt:
x t und x 2 = — (+ a -f- z x + i 8 %) ?
x 3 und == y (— a — + z 2 -J- z 3 ) .
§ 308. Eine andere Darstellungsweise der Gleichung der
Wurzelsummen.
Gegeben sei die vollständige Gleichung
x l 4- ax z -j- bx 2 -j- cx -f- d — 0