§ 356. Methode von Euclid und Omar. 
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x 2 + mx -j- n — 0 
reduciren. Werden diese Ausdrücke planimetrisch aufgefasst, wie 
solches bei Euclides und Omar der Fall ist, so müssen zur Ver 
meidung einer Absurdität die einzelnen Tbeile homogen, also m 
eine Linie, n eine Fläche darstellen, welche sich durch b 2 aus- 
driicken lässt. Auch kann, falls n eine Linie vorstellt, na statt n 
gesetzt werden, wo a die Längeneinheit bezeichnet. Das Rechteck 
na lässt sich aber immer in ein Quadrat b 2 verwandeln. 
Da es sich in den planimetrischen Constructionen des Euclides 
und den algebraischen Auswerthungen unbekannter Grössen der 
Araber nur um positive Werthe jener handelt, so schliessen diese 
Untersuchungen den ersten der vier Fälle, nämlich 
x 2 -f- mx + n — 0 
zunächst von den übrigen aus, und es bleiben drei, welche von 
Euclides unter den Formen von Rechtecken 
I. x(a — x) — b 2 , 
II. x (a -f- x) = b 2 , 
III. x(x — a) = b 2 , 
von Omar unter den drei Formen 
I. x 2 -j- ax — b, 
II. x 2 -f- a —bx, 
III. ax -f- b = x 2 
behandelt werden. Da sich Omar in seinen geometrischen Con 
structionen auf die des Euclides beruft, so beschränken wir uns 
darauf, die betreffenden Sätze und Aufgaben des Letzteren, welche 
sich allgemein auf Parallelogramme beziehen, auf die vorgelegten 
drei Probleme in dieser speciellen Form anzuwenden. Es wird sich 
empfehlen, den Text möglichst wörtlich wiederzugeben. 
1) Element lib. VI. prop. 27. Lehrsatz: Von allen an einer 
gegebenen Geraden a entworfenen Parallelogrammen, deren Er 
gänzungen dem Parallelogramme auf der halben Linie ähnlich sind 
und ähnlich gelegen, ist das seiner Ergänzung ähnliche Parallelo 
gramm auf der halben Geraden ein Maximum*). 
Specialisirung**). Von allen Rechtecken AM (Fig. 30), 
*) Dieser Satz enthält, wie man leicht sieht, die Determination der 
Realität der Wurzeln des Falles I. 
**) Die hinzugefügten Specialisirungen sind implicite in den Sätzen und 
Aufgaben des Euclid enthalten. 
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