§ 21. Allgemeine Formeln für konjugierte Richtungen etc. 93 
Endlich erhält man als Differentialgleichung der 
Asymptotenlinien nach (12) neben (15) die Gleichung 
— L=V {dF 1 dx + dF 2 dy + dF 3 dz) = 0 
oder nach Division mit V 
F n dx 2 + F 22 dy 2 + F 33 dz* 
-\-2F 23 dydz-\-2F 31 dzdx-\-2F 12 dxdy = 0. 
Dieselbe Gleichung resultiert aus (17), wenn dx x , dy x , 
dz y und dx 2 , dy 2 , dz 2 durch dx, dy, dz ersetzt werden. 
Ist die Fläche in der Form 
(20) z = f{x,y) 
gegeben, so kann man setzen 
F(x, y,z) = z f{x, y) = 0. 
Hieraus folgt unter Benutzung der in § 16, (2) ein- 
geiuhrten Abkürzungen 
Fy — — p, F 2 = — q, F 3 = l; 
F u = -r, F u = F, l s, F„ — t-, 
F 3 y — Fy 3 = 0, F 23 = F 32 — 0, F 33 — 0. 
Außerdem ist 
dz =p dx + q dy, 
so daß nur die Differentiale dx und dy auftreten. 
Es ergibt sich als Bedingung für zwei konjugierte 
Richtungen dx l} dy x und dx 2 , dy 2 
(17 a) r dx x dx 2 + s [dx x dy 2 + dy x dx 2 ) +1 dy x dy 2 — 0. 
Die Differentialgleichung der Krümmungslinien wird 
dx*[pqr — s(l+^ 2 )] — dy 2 [pqt — s(l+g 2 )] 
4- dx dy \r (1 + q 2 ) — i(l+|) 2 )] = 0, 
und die Differentialgleichung der Asymptotenlinien 
(19 a) r dx 2 + 2 s dx dy +1 dy 2 = 0. 
Bemerkung. Die Differentialgleichungen (18a) und 
(19 a) ergeben durch Integration sofort die Projektionen der 
Krümmungslinien, bezw. Asymptotenlinien auf die X F-Ebene 
und damit diese Kurvensysteme auf der Fläche selbst.