22. Allgemeine Formeln für die Hauptkrümmungsradien. 97 
Kommereil, Theorie der Eaumkurven. I. 
Dieser schöne Satz ist das Analogon zu dem Satz 
über die Krümmung der Raumkurven (§ 3, Schluß); an 
Stelle des Linienelements dort tritt hier das Flächen 
element. Daß in der Tat das Verhältnis des sphärischen 
Bildes eines Plächenelements zu diesem Flächenelement selbst 
ein Maß für die Krümmung der Fläche abgibt, ist, auch ab 
gesehen von der Analogie mit den Kurven, leicht einzu 
sehen: je stärker das Flächenelement dJ gekrümmt ist, desto 
mehr werden die Randnormalen desselben in ihrer Richtung 
voneinander abweichen, desto größer wird also das sphärische 
Bild dJ n , und damit auch das Verhältnis oder das Pro- 
dJ 
dukt 
'o> 
1 
rji; 
Damit ist die in § 18, S. 77 zunächst ohne weitere 
Begründung eingeführte Bezeichnung „Krümmungsmaß“ für 
das Produkt als berechtigt erwiesen. 
Wir kehren nun zur Bestimmung der Hauptkrümmungs 
radien zurück, die, wie schon bemerkt, mit Hilfe der Gleichun 
gen (4) geschieht. Führen wir dort für da, dh, de ihre Werte 
aus § 20, (5) ein, so erhalten wir drei in dx, dy, dz lineare 
und homogene Gleichungen. Durch Elimination dieser drei 
für R 
8a 1 
da 
da 
dx + R 
dy 
dz 
dh 
dh 1 
dh 
(8) 
dx 
r y + B 
dz 
d c 
de 
de 
dx 
dy 
dz + 
oder nach Potenzen von = geordnet 
Jtl 
1 
h k 
(8 a) 
R d ~ 
~R + R 
-\-l — 
R 
0, 
Die Koeffizienten h, k, l sind hierbei noch aus (8) zu be 
stimmen. Zunächst ist offenbar l die in § 20, (11) auf 
tretende Determinante; also ist l = 0. Die Gleichung (8a) redu 
ziert sich also nach Weglassung des Faktors 4 auf 
R