104 II. Abschnitt. Flächen in der Form F (x,y, z) = 0. 
4. Intervall; ß liegt zwischen —a 2 und —oo. 
Alle Flächen des vierten Intervalls sind imaginär. 
Durch jeden Raumpunkt {x, y, z) gehen nun drei Flächen 
des Systems und zwar ein Ellipsoid, ein einmantliges Hyper 
boloid und ein zweimantliges Hyperboloid. Gibt man näm 
lich in (1) den Koordinaten x, y, z irgend welche feste Werte, 
und bestimmt dann ß aus (1), so ergibt sich eine kubische 
Gleichung für ß. Diese hat drei reelle Wurzeln, von denen 
je eine im ersten, zweiten und dritten Intervall liegt. Man 
überzeugt sich hiervon leicht, wenn man die Bestimmungs 
gleichung für ß nach Potenzen von ß ordnet, also in die 
Form bringt 
№+A№+m+c=o, 
wo A, B, C Funktionen von x, y, Z‘, a 2 , h 2 , c 2 sind. Setzt 
man in dieser Gleichung für ß der Reihe nach die Werte 
ß =— a 2 , ß =— & 2 , ß— c 2 , ß = oo ein, so tritt mit jedem 
neuen Wert ein Wechsel des Vorzeichens der linken Seite 
ein, woraus folgt, daß zwischen je zweien dieser Werte eine 
Wurzel der Gleichung liegt. Bezeichnen wir mit X die 
Wurzel im ersten Intervall, mit ju die im zweiten, mit v 
die im dritten, so stellen die Gleichungen 
(4) 
1 
y 2 . 
z 2 
a 2 + X 1 
h 2 + X 1 
c 2 -\-X 
x 2 ( 
V 2 , 
z 2 
a 2 -\- fx 
h 2J [~F 
c 1 A- /x 
x ' i 
-Ü-+ 
h 2 + v ^ 
z 2 
a 2 + r 1 
c 2 —J- v 
1 = 0, 
1 = 0 
drei Flächen dar, von denen die erste ein Ellipsoid, die 
zweite ein einmantliges, die dritte ein zweimantliges Hyper 
boloid ist, und die alle drei durch den Punkt gehen, dessen 
Koordinaten die oben angenommenen festen Werte von x, y, z 
sind, und der mit P bezeichnet sei. 
Wir können daher die Lage des Punktes P statt durch 
die gewöhnlichen rechtwinkligen Koordinaten x, y, z ebensogut 
durch Angabe der Parameter X, /u, v der drei Flächen (4) 
des Systems bestimmen, welche durch den Punkt P gehen: 
man nennt dann die Größen X, a, v die elliptischen Ko 
ordinaten des Punktes P. Da X, ¿t, v bei gegebenem