§ 23. Konfokale Flächen zweiter Ordnung. 105 
x, y, z die Wurzeln der Gleichung (1) sind, so haben wir 
die Identität 
x 2 ?/ 2 z 2 (ß — X) {ß — fi) {ß — v) 
^ 77.i Q\ /7,‘> I Q\ /„2 I öl > 
{?>•-'+#) (cm-#) 
denn die linke, wie die rechte Seite verschwindet für ß = l, 
ß = fi } ß = v, und der Koeffizient von $ 3 ist nach Multi 
plikation mit (a 2 + ß) (b 2 + ß) (c 2 + ß) links wie rechts = — 1. 
Die Identität (5), die für alle Werte von ß gilt, benutzen 
wir nun dazu, x, y, z durch l, ¡u, v auszudrücken, indem wir 
mit (a 2 + ß) {b 2 -f- ß) (c 2 + ß) durchmultiplizieren und für ß der 
Reihe nach die Werte ß = — a 2 , ß —— b 2 , ß= — c 2 ein- 
setzen. Wir erhalten so 
„9 {a 2 + X){a 2 +fx){a 2 + v) 
{a 2 — b 2 ){a 2 -C 2 ) ' 
(b 2 + X) (b 2 4- fi) (b 2 + v) 
{b 2 — c 2 ){b 2 — a 2 ) ’ 
(6) 
(c 8 + *)(c» + AQ(c a + »0 
" / o o\ / . <> 7. o\ 
(c 2 — a 2 ) (c 2 — & 2 ) 
Diese Gleichungen erhält man auch durch Auflösen von 
(4) nach x 2 , y 2 , z 2 . Jedem Wertetripel elliptischer Ko 
ordinaten 1, ¡u, v entspricht ein Wertetripel recht 
winkliger Koordinaten x 2 , y 2 , z 2 . Die Gleichungen (6) 
zeigen, daß x, y, z nur dann reell werden, wenn die drei 
Größen X, ja, v in den oben angegebenen Intervallen liegen; 
fi und v sind daher stets negativ. 
Zu späterer Benutzung fügen wir noch einige für die 
Rechnung mit elliptischen Koordinaten wichtigen Rela 
tionen bei. 
Durch Subtraktion der Gleichung (4) folgt 
(?) 
Hierbei gehen die einzelnen Glieder jeder dieser und 
der folgenden Summen aus dem ersten durch zyklische Ver 
tauschung von x, y, z und a, b, c hervor.