§ 23. Konfokale Flächen zweiter Ordnung. 107 
Durch Quadrieren und Addieren dieser Gleichungen folgt 
unter Berücksichtigung von (7) und (8) 
(12) 
wo die übrigen Glieder der Summe durch zyklische Ver 
tauschung von X, t u, v aus dem ersten hervorgehen. 
An die Gleichungen (7 ) knüpfen wir noch den Beweis 
eines wichtigen Satzes, nämlich 
Satz. Die durch (4) dargestellten konfokalen 
Flächen zweiter Ordnung schneiden sich allent 
halben rechtwinklig. 
Beweis. Es sei P(x, y, z) irgend ein Punkt der Schnitt 
kurve, etwa der beiden ersten Flächen, so verhalten sich 
nach § 15, (20) die Richtungskosmus der Normalen der ersten 
Fläche wie 
x y z 
a 2 +1 '' h 2 + l ' c~ + 2 
und die der zweiten Fläche wie 
X y z 
Nach Einl. (8) sagt daher die erste Gleichung (7) aus, daß 
diese beiden Normalen zueinander senkrecht sind, q. e. d. 
Drei Flächensysteme, die sich überall rechtwinklig schneiden, 
nennt man ein dreifach orthogonales System. Der 
obige Satz läßt sich daher auch so formulieren: Die kon 
fokalen Flächen zweiter Ordnung bilden ein drei 
fach orthogonales Flächensystem (vgl. Fig, 14.) 
Gibt man in (6) 2 einen konstanten Wert, etwa 2 = 0, 
während ¡u und v veränderlich bleiben, so liegen die durch (6) 
dargestellten Punkte alle auf dem Ellipsoid 
Wir haben hier schon einen besonderen Fall der im 
I. Abschnitt des II. Bandes zu behandelnden, von Gauß 
eingeführten Form der Gleichung einer Fläche, bei der die 
Koordinaten x, y, z eines Flächenpunktes ausgedrückt sind 
als Funktionen zweier veränderlichen Parameter ju und v.