Läßt man in (6) auch fi konstant, also nur v variabel, so 
beschreibt der Punkt x, y, z auf dem Ellipsoid eine Kurve. 
Aus dem oben bewiesenen Satz folgt nun, daß die durch 
¡u = konst. und v — konst. dargestellten Kurvensysteme auf 
Fig. 14. 
dem Ellipsoid sich überall rechtwinklig schneiden. Wir 
werden im folgenden Paragraphen sehen, daß diese Kurven 
(Schnittkurven des Elipsoids mit den beiden Scharen von 
konfokalen Hyperboloiden) die Krümmungslinien des 
Ellipsoids sind. 
§24. Krümmungsliuien der konfokalen Flächen zweiter 
Ordnung. Die Sätze von Dupin und Joachimsthal. 
Die Entwicklungen des § 23 führen nunmehr zu fol 
gendem 
Satz 1. Die Schnittkurve zweier Flächen eines 
konfokalen Systems zweiter Ordnung ist Krüm 
mungslinie für beide Flächen. 
Oder 
Die Flächen eines dreifach orthogonalen Systems 
zweiter Ordnung schneiden sich allenthalben nach 
Krümmungslinien. 
Beweis, Wir betrachten die beiden Flächen 
(1) 
& r , 
a? + )> V + k'* 
(2) 
^ 2 - y 2 . 
Cl~ —1~ fl 1)~ —(“ fl 
c 2 +x 
i-o, 
C~ -j— fi 
1 = 0