HO II. Abschnitt. Flächen in der Form F(x,y, z) — 0. 
linien, womit der Beweis erbracht ist. Ganz analog gestaltet 
sich der Bew r eis für die Schnittkurven der ersten und dritten 
Fläche in § 23, (4). Wir haben also zunächst für das 
Ellipsoid 
Satz 2. Die erste Schar von Krümmungslinien 
eines Ellipsoids wird von den konfokalen einmant- 
ligen Hyperboloiden, die zweite Schar von den 
konfokalen zweimantligen Hyperboloiden ausge 
schnitten (vgl. Fig. 14). 
Es sind also für die Ellipsoide (X = konst.) die Kurven 
¡li = konst. und v = konst. die Krümmungslinien; analoges gilt 
für die Hyperboloide. 
Die Kj-ümmungslinien sind Raumkurven vierter Ord 
nung, welche sich indes auf die Symmetrieebenen des Flächen 
systems als Kegelschnitte projizieren, wie man leicht beweist. 
Der hiermit bewiesene Satz, daß die Flächen des drei 
fach orthogonalen Systems zweiter Ordnung sich in Krüm 
mungslinien schneiden, ist ein spezieller Fall eines allge 
meineren Satzes; derselbe lautet: 
Satz 3 (von Dupin). Wenn sich drei Flächen 
scharen überall orthogonal durchschneiden, so sind 
die Schnittkurven die Krümmungslinien der Flächen. 
Beweis. Es mögen sich die drei Flächen 
F[x,y,s) = 0, <I> [x, y, z) = 0, W [x, y,z) = 0 
überall rechtwinklig schneiden, und es sei P(x,y,z) ein allen 
dreien gemeinsamer Punkt. Die Bedingung der Orthogona 
lität ist 
(6) F 1 ^ 1 -\-F 2 <P 2 -\-F 3 <2> 3 = 0, 
(7) $ 1 W 1 +0 a W a + <P 3 W 3 = 0, 
(8) W i F 1 -{- x F 2 F c ,-\- x P 3 F 3 = 0. 
Dies ist also die Bedingung dafür, daß sich die Flächen 
im Punkt P{x,y,z) rechtwinklig schneiden. Da indes je 
zwei dieser Flächen, z. B. F= 0 und 0 = 0, längs ihrer 
ganzen Schnittkurve aufeinander senkrecht stehen, so gilt 
die Gleichung (6) auch noch, wenn man auf dieser Schnitt 
kurve zu einem Nachbarpunkt P' (x + dx, y + dy, z + dz)