§ 26. Die geodätischen Linien der Mittelpunktsflächen etc. 127 
Diese Gleichung zeigt, daß die Summe der beiden Ent 
fernungen nur von [x abhängt, d. h. längs der Krümmungs 
linie ju = konst, sich nicht ändert. Bezeichnet also M' einen 
zweiten Punkt dieser Krümmungslinie, so ist 
MK ± + MK 2 = M'K X + M'K 2 . 
Nach Satz 5 ist aber auch 
MK X + MKi = M'K t + M'Ki. 
Durch Subtraktion dieser beiden Gleichungen folgt 
MK 2 — MKi = M'K 2 — M'K[, 
d. h. für alle Punkte der obigen Krümmungslinie ist die 
Differenz der Entfernungen von den beiden Kreispunkten 
K 2 und Ki konstant. Analog läßt sich der Beweis für eine 
Krümmungslinie v = konst, führen. Wir haben also 
Satz 6. Für alle Punkte derselben Krümmungs 
linie ist die Summe bezw. Differenz der geo 
dätischen Entfernungen von zwei Kreispunkten kon 
stant, je nachdem die beiden Kreispunkte von 
der Krümmungslinie eingeschlossen oder getrennt 
werden. 
Die Sätze 3 und 6 zeigen die vollständige Analogie 
der Krümmungslinien des dreiachsigen Ellipsoids mit den 
konfokalen Kegelschnitten der Ebene, wobei den Brenn 
punkten die Kreispunkte, den Verbindungslinien der Brenn 
punkte mit einem Kurvenpunkte die geodätischen Linien 
durch die Kreispunkte entsprechen, welche nach demselben 
Punkte des Ellipsoids gehen. Man bezeichnet daher auch 
die Krümmungslinien des Ellipsoids als geodätische Ellipsen 
und Hyperbeln. Diese Analogie läßt sich noch weiter 
führen; z. B. schneiden sich die Krümmungslinien des Ellip 
soids nach §§23 und 24 überall rechtwinklig, wie die kon 
fokalen Kegelschnitte. Insbesondere lassen sich nach Satz 6 
die Krümmungslinien des Ellipsoids mit Hilfe eines in den 
Kreispunkten befestigten, über die Fläche gespannten Fadens 
in ganz derselben Weise mechanisch konstruieren, wie die 
Ellipse in der Ebene.