§ 28. Übungsaufgaben zu Abschnitt II.
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kürzeste Entfernung beider und den Fußpunkt derselben;
man untersuche den Zusammenhang dieser Elemente mit den
Krümmungsverhältnissen (17, 18).
14. Man leite die Formeln des § 21 aus den Resultaten
der Aufgabe 13 her (20, 21).
15. Man bestimme das sphärische Bild eines beliebigen
Punktes der Indikatrix und beweise mit Hilfe der gefundenen
Resultate folgende Sätze:
a) Die Hauptkrümmungsrichtungen sind ihren sphärischen
Bildern parallel.
b) Die Asymptotenrichtungen stehen auf ihren sphärischen
Bildern senkrecht.
c) Das sphärische Bild einer von zwei konjugierten Rich
tungen steht auf der andern senkrecht (20). (Anleitung:
Führe in der -Ebene Polarkoordinaten ein.)
16. Man leite die Formeln des § 21 aus den Resultaten
der Aufgabe 15 her (20, 21).
17. Man beweise den Satz:
Der Krümmungsradius des Normal Schnitts durch ein
beliebiges Linienelement ist gleich dem negativen Verhältnis
dieses Linienelemcnts zu der Projektion seines sphärischen
Bildes auf die Richtung des Linienelements selbst (20, 22).
18. Man leite aus dem Satz in Aufgabe 17 die
Gleichung (2) in § 22 ab (20).
19. Man berechne die Fläche des sphärischen Bildes
der Indikatrix und zeige, daß deren Verhältnis zur Fläche der
Indikatrix selbst gleich dem Krümmungsmaß der Fläche ist
(20) (vgl. § 22, Satz 3).
20. Man lasse längs der kubischen Parabel (z = — y s ;
x — 0) den Scheitel der Parabel (# = ax 2 ; y = 0) hingleiten;
man bestimme die Gleichung der entstehenden Fläche, die
Asymptotenlinien sowie die parabolische Kurve (21, 22).
21. Man integriere die Differentialgleichung der Asymp
totenlinien für eine Rotationsfläche (Polarkoordinaten). An
wendung auf das einmantlige Rotationshyperboloid (21).
22. Man bestimme die Krümmungslinien und Asymptoten
linien der beiden Paraboloide (21).
23. Beweis des Satzes; Liegt eine Gerade ganz auf
einer Fläche, so ist sie eine Asymptotenlinie derselben (21).
24. Man bestimme für eine beliebige Fläche das zu
£ = konst. konjugierte Kurvensystem (21).
