§ 2. Bogenelement, Tangente und Normalebene etc. 9 
Erklärung. Die Tangente der Raumkurve im Punkt P 
ist die Gerade, welche durch P und F' geht.*) 
Lassen wir die positive Richtung der Tangente mit der 
oben definierten Fortschreitungsrichtung der Kurve in P zu 
sammenfallen, so sind die Richtungskosinus der Tangente 
die in (5) bereits bestimmten Größen a, ß, y. Sind daher 
X, Y, Z die laufenden Koordinaten der Tangente, und ist 
v der in der positiven Richtung gemessene Abstand des 
Punktes X, Y, Z von x, y, z, so sind die Gleichungen 
der Tangente (vgl. Einl. (4)) 
(7) X — x = va, Y — y = vß, Z—z = vy, 
oder durch Elimination von v unter Berücksichtigung von (5) 
(8) (X — x):(Y — y):(Z — z) = a:ß:y = dx: dy: dz. 
Erklärung. Die durch P gehende, zur Tangente senk 
rechte Ebene heißt die Normal ebene**) der Kurve in P, 
jede durch P gehende, in der Normalebcne liegende Gerade 
eine Normale der Kurve. 
Die Gleichung der Normalebene in X, Y, Z als 
laufenden Koordinaten ist nach Einl. (5) 
(9) {X—x)a-\-{Y—y)ß + [Z— z) y = 0, 
oder nach Gl. (5) 
(10) (X — x) dx + (F— y) dy -f {Z — z) dz = 0. 
Für x, y, z und a, ß, y, bezw. dx, dy, dz kann man 
hier noch die Werte in u aus (1), (2) und (5) einsetzen. 
Wir schließen noch einige Bemerkungen an: 
1. Ist der Parameter die Bogenlänge s, sind also 
die Koordinaten eines Punktes der Raumkurve als Funktion 
des von einem bestmimten Punkte ab gemessenen Bogens 
gegeben, so sind die Größen a, ß, y direkt die Differential 
quotienten der Koordinaten x, y, z nach s. Setzen wir unter 
dieser Voraussetzung zur Abkürzung 
(11) 
*) i n Fig. 2 mit PT bezeichnet. 
**) In Fig. 2 mit N bezeichnet.