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I. Abschnitt. Die Kaumkurven. 
Entsprechende Gleichungen erhält man für m und n; 
man hat also für die Richtungskosinus l, m, n der 
Hauptnormale 
(5) 
Da l- + ni 2 + n- = 1 ist ; ergibt sich für den Propor 
tionalitätsfaktor r 
1 da 2 -j- dß 2 dy 2 dt 2 
r 2 ds 2 ds 2 
(6) 
Die Übereinstimmung von (6) mit § 3, (9) lehrt, daß 
der oben eingeführte Proportionalitätsfaktor r dem abso 
luten Wert nach gleich dem Krümmungsradius ist. An und 
für sich kann in (3) und (4) für r entweder beidemal der 
positive, oder beidemal der negative, aus (6) sich ergebende 
Wert genommen werden. In beiden Fällen hat nach Einl. (12) 
das Trieder dieselbe Orientierung wie das von den positiven 
Koordinatenachsen gebildete. Wir nehmen nun, um die 
positiven Richtungen der Kanten des Trieders eindeutig 
zu bestimmen, für r in (3) und (4) stets den positiven 
Wert, oder, was dasselbe ist, r bedeutet den Krümmungs 
radius selbst (nicht seinen negativen Wert). Durch diese 
Festsetzung weist die positive Hauptnormalenrichtung 
in der Tat, wie oben festgesetzt wurde, nach dem Krüm 
mungsmittelpunkt hin: um dies zu beweisen,* denken 
wir uns den Koordinatenursprung in den Kurvenpunkt F 
verlegt und lassen die X-, Y- und Z-Achse mit der Tangente, 
Hauptnormale und Binormale der Kurve zusammenfallen. 
Dann wird 
a= 1, ß = 0, 7 = 0; 1 = 0, m = 1, n = 0; 
2 = 0, ju = 0, v = 1; dx = ds. 
Aus der zweiten Gleichung (5) folgt also dß = Da 
nun r und dx positiv sind, so ist auch dß positiv; d. h. der 
Kosinus des Winkels der positiven Tangente gegen die po 
sitive Y-Achse nimmt zu, dieser Winkel selbst also nimmt 
ab, d. h. die Kurve wendet der positiven Y-Achse ihrer kon 
kave Seite zu und der Krümmungsmittelpunkt liegt bei der 
obigen Annahme des Koordinatensystems auf der positiven