§ 4. Das die Raumkurve begleitende Dreikant. 19 
}-Achse, d. h. auf der positiven Hauptnormale, womit der 
Beweis erledigt ist. 
Alsdann hat man für die Koordinaten X, Y, Z des 
Krümmungsmittelpunktes (Jf in Fig. 3): 
(7) X—x-\-rl, Y=y-\-rm, Z= s-\-rn. 
Bemerkung. Es ist, im Unterschied von den ebenen 
Kurven, zu beachten, daß der Kümmungsmittelpunkt nicht der 
Schnittpunkt zweier konsekutiven Hauptnormalen ist. Diese sind 
vielmehr windschief, da sie in verschiedenen Ebenen, den 
Schmiegungsebenen der beiden Punkte, liegen, und ihre bezüg 
lichen Schnittpunkte P und F' mit der Schnittgeraden dieser 
beiden Ebenen, d. h. der Kurventangente, natürlich nicht zu 
sammenfallen. Der Krümmungsmittelpunkt ist vielmehr der 
Schnittpunkt der Hauptnormalen von P mit der Normal- 
ebene des Nachbarpunktes P' (vgl. Fig. 4). Der analytische 
Beweis hierfür sei dem Leser überlassen (vgl. § 2, Schluß). 
Zum Schluß stellen wir noch die Gleichungen für die 
Kanten und Ebenen des begleitenden Tricders zusammen. 
Es wurde gefunden: 
Gleichungen der Tangente 
(8) X = x-{-va, Y—y-\-vß, Z=z-\-vy. 
Gleichungen der Hauptnormale 
(9) X=x-\-vl, Y=y -\-vm, Z=g-\-vn. 
Gleichungen der Binormale 
(10) X = x-\-va, Y =y Yv y, Z = g -\-vv. 
Gleichung der Normalebene 
(11) (X-x)a + {Y—y)ß + {Z-g)y = 0. 
Gleichung der Schmiegungsebene 
(12) (X-x)l + {Y-y)p + {Z—e)v=* 0. 
Gleichung der rektifizierenden Ebene 
(13) (X — x)l-\-(Y — y) m + [Z — z)n = 0. 
Hierbei sind a, ß, y bestimmt durch (2); l, ¡x, v durch 
(3); l, m, n durch (5); r aus (6) mit positivem Vorzeichen. 
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