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I. Abschnitt. Die Raumkurven. 
nebst den analogen Gleichungen, die aus dieser durch cyk- 
lische Vertauschung hervorgehen. Quadriert man diese drei 
Gleichungen, so folgt aus (4) 
(5) 
dt 2 
t7 2 r 4 
ds 10 * 
Beim Radizieren ist nun noch eine Entscheidung über 
das Vorzeichen zu treffen. Während nämlich der Kontingenz 
winkel dt (und damit der Krümmungsradius r) als wesentlich 
positiv angesehen werden konnte, ist dies beim Torsions 
winkel nicht mehr der Fall. Denn für das konsekutive 
Bogenelement P'P" sind ja zu PP' unendlich viele Lagen mög 
lich, die einen Kegel mit dem erzeugenden Winkel dt bilden; 
man kann also nicht von einem Vorzeichen dieses Winkels 
sprechen. Für die konsekutive Schmiegungsebene dagegen 
sind nur zwei Lagen möglich, je nachdem sie gegen die 
vorangehende um das beiden gemeinsame Bogenelement {P' P") 
im einen oder andern Sinne um den Winkel dx gedreht ist. 
Diese beiden Drehungsrichtungen sind durch das Vorzeichen 
zu unterscheiden, und wir rechnen den Torsionswinkel dx 
|und damit auch die Torsion —j positiv, wenn die zweite 
Schmiegimgsebene gegen die erste, in der positiven Tan- 
gentenrichtung gesehen, im Sinne des Uhrzeigers gedreht 
erscheint, im andern Fall als negativ. In Fig, 5 z. B. ist 
dx positiv. Zufolge dieser Festsetzung ist, wie sich im 
folgenden Paragraphen zeigen wird, bei der Radizierung von 
(5) das negative Zeichen zu wählen, und es ist also schließlich 
(6) 
1 
Q 
dx 
ds 
r 2 
ds n 
dx dy ds 
d 2 x d 2 y (Pz 
d 3 x d 3 y d 3 s 
wo noch der Wert von r 2 aus § 3, (9) zu entnehmen ist. 
Die Gleichung ='^ läßt sich in ganz analoger Weise 
mit Hilfe der sphärischen Abbildung geometrisch deuten, 
1 eilt 
wie dies am Schluß von § 3 für die Gleichung — = ^ ge 
schah. Erzeugt man nämlich, wie dort mittels der Tan 
genten, so jetzt mittels der Binormalen ein sphärisches