§ 6. Die Formeln von Freuet. Schmiegungskugel. 23 
Bild der Baumkurve, so daß den Punkten P, P'. . . der 
Kurve die Punkte P lf P[, . . der Einheitskugel entsprechen, 
so ist der Torsionswinkel dr gleich dem Bogenelement 1\ P x ' 
1 PP' 
und die Torsion = -WW • 
§ 6. Die Formeln von Freuet. Schmiegungskugel. 
In § 4 haben sich die Werte für die Eichtungskosinus 
a, ß, y der Tangente, l, m, n der Hanptnormale, X, y, v 
der Binormalen ergeben. Es sollen nun die Differentiale 
dieser Größen dargestellt werden. Wir werden so zu einem 
wichtigen, zuerst von Frenet, später von Serret auf 
gestellten Formelsystem gelangen. Zuvor seien jedoch die 
wichtigsten Formeln aus den früheren Paragraphen zusamraen- 
gestellt. Es hatte sich ergeben: 
Bogenelement 
(1) ds 2 = dx 2 + dy 2 + ds 2 , dsd 2 s = dxd 2 x J r dyd 2 y J r dsd 2 s. 
Eichtungskosinus der Tangente 
(2) 
(3) 
(4) 
dy 
ds ’ 
ds 3 
(5) 
(6) 
ds 
ds’ r ds’ ^ ds' 
Eichtungskosinus der Hauptnormale 
l 
da 
r ds 
dß dy 
m — r , n — r 
ds ’ ds ' 
Eichtungskosinus der Binormalen 
X = -l— {dyd 2 s — dsd 2 y), y = * {dsd 2 x 
v — , „ (dxd 2 y 
ds 3 
Krümmungsradius und Kontingenzwinkel 
1 dt 2 da 2 -)- dß 2 + dy 2 
r 2 ds 2 ds 2 
Torsionsradius und Torsionswinkel 
1 dz~ dX*■ —d y~ —!— dv 
Q 2