§ 8. Die natürlichen Gleichungen einer Eaumkur’ve. 31 
(a — öti) 2 + (A — ^i) 2 + (l — ^i) 2 == C x , 
(4) (ß — ß x ) 2 + {pi — /G.) 2 + [ m m i) 2 — t'2 > 
(/ — 7i) 2 + ( v — *t) 2 + i n n \) 2 — > 
wobei G x , C 2 , C s , Integrationskonstanten sind. Da aber so 
wohl a, l, l wie a x , l x , l x für s = s 0 in « 0 , X 0 , l 0 übergehen, 
so folgt C x = C.> = 63 = 0, und darum ans (4) a — a x , ß = ß i , 
y —y x , l = X 1 u. s. w. 
Die beiden Systeme von Integralen a x , a x , l x und a, l, X 
sind somit identisch, oder die Freuet sehen Gleichungen 
geben nur ein System von Integralen, das für s = s 0 in die 
gegebenen Werte a 0 , Ä 0 , l 0 übergeht. Sind diese Integrale 
bestimmt, so erhält man aus § 6, (2) die Gleichungen der 
.Raumkurve in der Form 
(5) x=jads-\-c x , y—jßds-\-c y , z—fyds + c s . 
Die drei Integrationskonstanten c x , c y , c z bestimmen sich 
durch die Bedingung, daß für s = s 0 , x = x 0 , y = y 0 , z = z 0 
werden soll. Die Baumkurve ist also in der Tat durch die 
Gleichungen (1) eindeutig bis auf die Lage im Baum be 
stimmt. Da diese Gleichungen die Baumkurve unabhängig 
von jedem Koordinatensystem vollkommen charakterisieren, 
so heißen sie die natürlichen Gleichungen der Baura- 
kurve. 
Bemerkung. Man kann beweisen, daß die Integration 
der Prenetschen Gleichungen, wenn r und q in Funktion 
von s gegeben sind, sich auf die Integration einer einzigen 
Differentialgleichung von Eiccatischem Typus*) zurück 
führen läßt. 
Beweis. Da a 2 -f- P -f-1 2 = 1 ist, so kann man offenbar 
(6) 
gl ~|~ %7<* 1 —j - \ ci — ¿1 1 ~-{ ^ 1 
1 — l a—il 1 — l a-\-iX V 
setzen. 
Größen 
nämlich 
(7) 
Aus diesen Gleichungen erhält man durch Auflösen die 
a, /, l durch die beiden Parameter u und v ausgedrückt, 
1 — uv . 1 -j- w w 1 ___ u T v 
Die Parameter u und v sind komplexe Größen, und zwar so, 
daß u und — ~ konjugiert imaginär sind (vergl. (6)). Setzt man 
*) Vergl. hierüber: S. S. Bd. XIII, Schlesinger, Differen 
tialgleichungen, p. 40 ff.