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I. Abschnitt. Die Eaumkurven. 
aus (7) die Werte für «, 2, l in die Frenetsehen Gleichungen ein, 
so erhält man statt der drei Gleichungen in et, /t, l folgende zwei 
in u und v 
du 
ds 
dv 
ds 
r Q 
+ fl-D4 
2 \r ' pI ' 2 
—I— 
r Q 
u und v sind also zwei verschiedene Lösungen der Differential' 
gleichung in o 
(8) 
da 1/1 , z \ j 1 / 
Js~~~~2\r ' ~ü) + 2 V 
Dies ist die Riccatische Differentialgleichung, auf deren 
Lösung das Problem zurückgeführt ist. Man zeigt leicht, daß, 
wenn o eine Lösung von (8), und d die zu o konjugiert imaginäre 
Größe ist, auch ——, eine Lösung von (8) ist. Kennt man also 
a' 
von (8) eine partikuläre Lösung u, so ist der negative reziproke 
Wert v der konjugiert imaginären Größe von u ebenfalls eine 
Lösung von (8). Die Werte von a, X, l ergeben sich dann aus (7). 
Verfährt man mit ß, p. m und mit y, v, n ebenso, wie mit «, /, l, 
so kommt man offenbar immer auf dieselbe Differentialgleichung (8). 
Näheres s. Darboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces, 
Libre I, Chap. II. 
§ 9. Herleitung einer Kurve aus gegebenen 
Eigenschaften. 
Zu den allgemeinen Erklärungen des § 8 geben wir 
einige Beispiele, für die die Integration der Fr enet sehen 
Gleichungen gelingt. Als erstes Beispiel diene die 
Aufgabe 1. Die Kurven zu bestimmen, für welche 
die Krümmung konstant Null ist. 
Für r — oo folgt aus § 6, (7) sofort 
a = Ci, ß = c 2 , y ~c3, 
und durch Integration von § 6, (2) 
x = c 1 s + c[, y = c 2 s + c£, 2 = c 3 s + ci 
Diese Gleichungen stellen aber eine Gerade dar. 
Aufgabe 2. Die Kurven zu bestimmen, für die 
die Torsion — konstant Null ist. 
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