§ 9. Herleitung einer Kurve aus gegebenen Eigenschaften. 33 
Aus § 6, Gl. (8) folgt 
X — fl = V = Cg . 
Multipliziert man ferner die Gleichungen § 6, (4) der 
Reihe nach mit dx, dy, dz und addiert unter Benutzung 
der für X, fi, v soeben gefundenen Werte, so folgt 
c x dx + c 2 dy + c ä dz = 0 
oder integriert 
C x X + Cziy J r C z Z = C 4c . 
Diese Gleichung sagt aus, daß alle Punkte der Kurve 
in einer Ebene liegen; die Kurven mit der Torsion 
— =0 sind daher ebene Kurven. 
e 
Aufgabe 3. Die Raumkurven zu finden, für 
welche das Verhältnis der Krümmung zur Torsion, 
also r:g konstant ist. 
Zur Lösung ersetzen wir in den Gleichungen (2) und 
(7)—(9) des § 6 ds durch rdt und erhalten so 
(1) 
1 dx 
° r di ’ 
ß = 
1 dy 
r dt’ 
y = 
1 dz 
r dt ’ 
(2) 
da 
dt 
= h 
dß 
hi 
= m, 
ii 
= n; 
(3) 
dX 
Ir 
d fx 
mr 
dv 
nr 
Hi = 
Q ’ 
dt = 
= > 
Q 
di ~ 
Q ’ 
dl 
a + 
Xr\ 
dm 
i „ ur 
Hi 
| 
7)’ 
dt 
l^+y 
dn / vr\ 
di = ~\ 7+ 7j- 
Wir führen nun die Voraussetzung ein, daß — = konst. 
Q 
ist und bezeichnen diese Konstante mit ctg <5. Differenziert 
man die Gleichungen (4) nach t unter Beachtung von (2) 
und (3), so folgt 
dH l d 2 m m d 2 n n 
dt 2 sin 2 (5’ dt 2 sinM* dt 2 sin 2 (5 ’ 
3 
Kommerell, Theorie der Raumkurven. I.