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I. Abschnitt. Die Eaumkurven. 
fläche geodätische Linien sind, so kann man hieraus schon 
schließen, daß die Evoluten Schraubenlinien auf dem Evo- 
lutencylinder sind. Dies folgt aber ebenso einfach aus der 
dritten der obigen Gleichungen, denn - ist, wie sich aus der 
Figur ergibt, die trigonometrische Tangente des Neigungs 
winkels der Kurventangente gegen die X F-Ebene; dieser 
Winkel ist also konstant = C. Jede Evolute schneidet dem 
nach die Erzeugenden des Cylinders unter konstantem Winkel 
und ist daher eine Schraubenlinie desselben. 
§ 13. Minimalgeraden, Minimalkurven. 
Die bisherigen Entwicklungen bezogen sich ausschließ 
lich auf reelle Kurven; wir besprechen zum Schluß dieses 
Abschnittes noch eine wichtige Klasse von imaginären 
Kurven, die späterhin mehrfach benutzt werden. Es sind 
dies die sogenannten Minimalkurven, von denen zunächst 
die einfachsten, die Minimalgeraden behandelt werden 
sollen. 
Jede Fläche zweiter Ordnung schneidet bekanntlich die 
unendlich ferne Ebene in einer reellen oder imaginären Kurve; 
nach der Natur dieser Kurven pflegt man ja jene Flächen 
einzuteilen. Von besonderer Wichtigkeit ist der imaginäre 
Kreis, nach dem eine Kugel von der unendlich fernen Ebene 
geschnitten wird; derselbe spielt bei allen metrischen Fragen, 
namentlich der projektiven Geometrie, eine fundamentale Rolle. 
Um die Gleichung des unendlich fernen Kugelkreises 
zu finden, gehen wir aus von der Gleichung einer Kugel 
mit dem Radius a und dem Mittelpunkt [x 0 , y 0 , z 0 ) 
(1) {x — + — yoY + {z — 2 0 ) 2 = a 2 . 
Ersetzt man hier x, y, z bezüglich durch 
so 
erhält man die Kugelgleichung in den sogenannten homo 
genen Koordinaten*) x', y', t in der Form 
(2) (x'— x 0 t) 2 + (y'— y 0 1) 2 + (U — z 0 1Y = aH 2 . 
*) Yergl. S. S. XXY. Simon, Analytische Geometrie des 
Raumes, II, § 1.