§13. Minimalgeraden, Minimalkurven. 
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Dem Wert t= 0 entsprechen unendlich ferne Punkte 
des Raumes; ¿ = 0 ist also die Gleichung der unendlich 
fernen Ebene. Gleichung (2) wird nun offenbar befriedigt 
durch 
(3) x' 2 -f-y' 2 -f-z' 2 = 0, t = 0. 
Dies sind also die Gleichungen des unendlich 
fernen Kugelkreises. Da sie unabhängig vom Radius 
und von den Koordinaten des Mittelpunkts der Kugel sind, 
so folgt, daß alle Kugeln durch den unendlich fernen 
imaginären Kugelkreis hindurchgehen. Umgekehrt 
sieht man leicht ein, daß jede Fläche zweiter Ordnung, die 
den unendlich fernen imaginären Kugelkreis enthält, not 
wendig eine Kugel ist. Die erste Gleichung (3) stellt, wenn 
wir sie wieder in den ursprünglichen Koordinaten x, y, z 
schreiben 
(4) x 2 y 2 -\-z 2 = 0, 
eine Kugel vom Radius Null um den Mittelpunkt des 
Koordinatensystems dar (Nullkugel). Gleichung (4) kann 
aber auch — und dies ist für uns wichtiger — als Gleichung 
eines Kegels gedeutet werden, dessen Mantellinien den Ur 
sprung des Koordinatensystems mit allen Punkten des un 
endlich fernen Kugelkreises verbinden oder der, wie man 
sagt, den unendlich fernen Kugelkreis vom Ursprung 
aus projiziert. Verschiebt man diesen Kegel parallel mit 
sich selbst, bis seine Spitze in den Kugelmittelpunkt (x 0 , y 0 , z 0 ) 
fällt, so lautet seine Gleichung: 
(5) {x — x 0 ) 2 + {y — y 0 ) 2 + iz — ¿f 0 ) 2 = 0. 
Dieser Kegel geht ebenfalls durch den unendlich fernen 
Kugelkreis hindurch, wie man sich leicht überzeugt, wenn 
/ U^ 
man statt x, y, z wieder die homogenen Koordinaten —, —, — 
t t t 
schreibt und i = 0 setzt. Die Gleichung (5) sagt aus, daß 
jeder Punkt {x, y, z) des Kegels von der Kegelspitze {x 0 , y 0 , z 0 ) 
einen Abstand gleich Null hat. Die Mantellinien des Kegels 
heißen aus diesem Grund Geraden von der Länge Null 
oder Minimalgeraden. Es folgt der 
Satz 1. Durch jeden Raumpunkt (x 0 ,y Q ,z 0 ) gehen 
unendlich viele Minimalgeraden; dieselben treffen