56 
I. Abschnitt. Die Raumkurven. 
der Parameter u und v der Kugelerzeugenden an. 
und (10) folgt nämlich durch Auflösen 
1—uv i{l-\-uv) 
X = , y = 
U V U V 
Aus (9) 
(14) 
z = 
u-\-v 
U — V 
Diese Werte befriedigen die Gleichung (8) für alle 
Werte von u und v, die Gleichungen (14) stellen daher 
die Kugel (8) dar. Ist in (14) u konstant, v veränderlich, 
so durchläuft der Punkt (x, y, z) eine Kugelerzeugende der 
ersten Schar; analog wenn v konstant und u veränderlich 
ist. Um aus (14) reelle Kugelpunkte zu erhalten, muß, 
wie aus (9) und (10) ersichtlich ist, für den Parameter u 
eine komplexe Größe genommen werden und für — — die 
dazu konjugierte. Die Darstellung (14) ist bereits in § 8 
am Schluß benutzt worden. 
Minimalkurven (Minimallinien) nennt man die 
jenigen (imaginären) Kurven, deren Tangenten Minimal 
geraden sind, oder den unendlich fernen imaginären Kugel 
kreis schneiden. Diese Kurven sind für die späteren 
Untersuchungen (konforme Abbildung, Minimalflächen) von 
Wichtigkeit. Um die Gleichungen einer Minimalkurve zu 
finden, suchen wir die Bedingung, der die Koordinaten x, y, z 
eines ihrer Punkte, als Punktionen eines Parameters u be 
trachtet, genügen müssen. Die Gleichungen der Tangente 
im Punkt (x, y, z) lauten nach § 2, (7) 
X — x-\-va, Y=y-\-vß, Z=z + vy. 
Soll diese Tangente eine Minimalgerade sein, so muß 
nach (7) 
a 2 + ß 2 + y 2 = 0 
oder nach § 2, (3) und (5) 
(15) ds 2 = dx 2 -\- dy 2 + dz 2 = 0, d. h. ds= 0 
Länge Null; diese Eigenschaft wird oft als Definition an 
die Spitze gestellt. 
Schreibt man (15) in der Form