§14. Übungsaufgaben zu Abschnitt I.
59
11. Man bestimme die Punkte einer Raumkurve, in
denen die Schmiegungsebene vier konsekutive Punkte mit
der Kurve gemein hat (stationäre Ebene) (5),
12. Die Schraubenlinie des allgemeinen Cylinders zu
untersuchen (2, 3, 5, 6).
13. Die Kurven zu bestimmen, deren Tangenten den
Erzeugenden eines Potationskegels parallel laufen (9).
14. Die Gleichungen der Kurven zu bestimmen, für die
a) r, b) q konstant ist (9).
15. Haben zwei Kurven dieselben Hauptnormalen,
(Bertrandsche Kurven), so besteht für jede Kurve eine
A JB
Relation von der Form j 1- 0=0, wo i, 5, C Kon-
q r
stauten sind (6).*)
16. Ein Kreis berühre eine Kurve zweiter Ordnung in
einem Scheitel, jedoch so, daß beide Kurven in verschie
denen Ebenen liegen; gesucht ist die durch beide Kurven
gehende abwickelbare Fläche, sowie ihre Rückkehrkante.
Welches ist der Ort der Rückkehrkanten, wenn sich der
Kreis um die Scheiteltangente des Kegelschnittes dreht (10).
17. Man beweise, daß das begleitende Dreikant einer
Raumkurve aus einer Lage in die nächstfolgende durch eine
infinitesimale Schraubung gebracht werden kann, wobei die
Achse der Schraubenbewegung die Gerade ist, welche die
zwei konsekutiven Hauptnormalen senkrecht schneidet (11).
18. Man bestimme die Gleichungen der abwickelbaren
Flächen für die Schraubenlinie des Kreiscylinders (11).
19. Man bilde für die Rückkehrkante G' der abwickel
baren Polarfläche einer Raumkurve C die Richtungskosinus
der Kanten des begleitenden Dreikants und beweise folgende
Sätze:
a) Die Hauptnormalen der Kurven C und C in ent
sprechenden Punkten sind parallel.
b) Die Binormale jeder Kurve ist parallel der Tangente
der anderen.
*) Anleitung. Die erste Kurve habe zu Gleichungen
x — x {u), y = y (w), z = z {u); dann hat die zweite die Gleichungen
x t =x-\-kl u. s. w., wo Tc zunächst eine Funktion von u ist. Man
stelle nun zuerst die Bedingung auf, daß die Tangente der zweiten
Kurve auf der Richtung {l, m, n) senkrecht steht; es ergibt sich
so k = konst.
