62 II. Abschnitt. Flächen in der Form F(x, y, z) = 0. 
(3) x-\-dx, y + dy, z-\-dz, 
so gilt außer (1) die Gleichung 
F{x-\-dx, y-\-dy, z-\-dz) = 0, 
oder, wenn man die linke Seite nach Potenzen von dx, dy, 
dz in eine Reihe entwickelt, die höheren Potenzen dieser 
Differentiale gegen die ersten vernachlässigt und (1) benützt 
(4) F x dx + F 2 dy + F 3 dz — 0. 
Die linke Seite ist das totale Differential von F{x,y,z). 
Hat man auf der Fläche noch einen dritten Punkt P", der 
P' unendlich benachbart ist, mit den Koordinaten 
(5) x-j-2 dx~i~d 2 x, y -\-2dy d 2 y, z + 2 dz + d 2 z 
und setzt man diese Werte statt x, y, z in (1) ein, so erhält 
man eine weitere Gleichung. Entwickelt man die linke 
Seite derselben wie vorhin und vernachlässigt alle Glieder, 
die unendlich klein von höherer als der zweiten Ordnung 
sind, so ergibt sich unter Beachtung von (1) und (4) 
(6) dF x dx + dF 2 dy + dF 3 dz + F x d 2 x -J- F 2 d 2 y + F 3 d 2 z = 0, 
wo 
dF x = F xx dx-\-F i2 dy + F X3 dz, 
(6 a) dF 2 = F 21 dx + F 22 dy + F 23 dz, 
dF 3 = F 31 dx + F 32 dy + F 33 dz. 
Die Gleichung (6) ergibt sich auch durch totale Diffe 
rentiation von (4). Die Relationen (4) und (6) zwischen 
den Koordinaten x, y, z und ihren ersten und zweiten 
Differentialen werden im folgenden viel benutzt. Es ist 
also zu beachten, daß ein Punkt P' mit den Koordinaten 
x + dx, y-\~dy, z-\-dz, der dem Elächenpunkt P{x,y,z) un 
endlich benachbart ist, dann und nur dann auf der Fläche 
liegt, wenn die Differentiale dx, dy, dz der Gleichung (4) 
genügen. Ebenso liegt ein dem Punkt P' imendlich be 
nachbarter Punkt P" dann und nur dann auf der Fläche, 
wenn die ersten und zweiten Differentiale in (5) den Glei 
chungen (4) und (6) genügen. 
Wir untersuchen nun die Fläche in der Um 
gebung eines ihrer Punkte. Wie bei den Raumkurven 
diese Betrachtung auf zwei Kurven (Tangente und Krüm