§ 15. Linien- und Flächenelement, Tangentialebene, etc. 63 
mungskreis) führt, welche in der unmittelbaren Nachbarschaft 
die Kurve ersetzen können, so werden wir analog bei Flächen 
auf einfachere Flächen kommen, welche gewisse Eigen 
schaften der Fläche in der Nähe des Punktes wiedergeben. 
Beschränken wir uns auf unendlich kleine Größen erster 
Ordnung, so erhalten wir als erste Annäherungsfläche 
eine Ebene, die Tangentialebene; ziehen wir auch noch 
die unendlich kleinen Größen zweiter Ordnung bei, so ergibt 
sich als zweite Annäherungsfläche ein Paraboloid, das 
Schmiegungsparaboloid. 
Zunächst beschränken wir uns auf die Gebilde, die be 
stimmt sind durch den Punkt P [x, y, z) und einen Nachbar 
punkt F' (a?-f-dx, y-\-dy, z + dz). Wir definieren analog 
wie bei den Kurven (vgl. § 2): 
Erklärung: Die unendlich kleine, in der Fläche 
liegende Verbindungsstrecke zweier unendlich be 
nachbarten Flächenpunkte P und F' heißt ein Linien 
element oder Bogenelement der Fläche im Punkte P; 
man bezeichnet dasselbe mit ds = FP'. 
Es ist nun, genau wie in § 2, 
(7) ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 . 
Hieraus ergibt sich, wie für spätere Benutzung schon 
hier bemerkt sei, durch Differentiation folgende Beziehung 
zwischen den ersten und zweiten Differentialen 
(8) dsd 2 s = dxd 2 x-\-dyd 2 y-\-dzd 2 z. 
Bezeichnet man die ßichtungskosinus des Linien 
elements FF' = ds mit a, ß, y, so ist 
(9) 
dx dy dz 
ds ’ P ds’ ^ ds 
Als Tangente der Fläche definieren wir die Ver 
bindungslinie zweier unendlich benachbarten Flächenpunkte. 
Ihre Gleichung ist (vergl. § 2) in X, Y, Z als laufenden 
Koordinaten 
(10) (X—x):{Y—y):{Z—z) = a:ß:y, 
wo für a, ß, y die Werte aus (9) einzusetzen sind. 
Für die Richtungskosinus a, ß, y folgt aus (4) und (9) 
die Beziehung