74 II. Abschnitt. Flächen in der Form F (x, y, z) = 0. 
zu den konjugierten Richtungen, die sich aus bekannten 
Sätzen über Kegelschnitte*) ergeben, nämlich; 
1. Die Hauptkrümmungsrichtungen sind diejenigen zwei 
konjugierten Richtungen, die aufeinander senkrecht stehen. 
2. Die Asymptotenrichtungen sind zwei zusammen 
fallende konjugierte Richtungen. 
3. Jedes Paar von konjugierten Richtungen liegt zu den 
Asymptotenrichtungen harmonisch. Durch die indikatrix 
(bezw. ihre Projektion) werden die von einem Punkte der 
Fläche ausgehenden Richtungen involutorisch einander zu 
geordnet; die Asymptotenrichtungen sind die Doppelstrahlen 
dieser Involution. 
§18. Hauptkrümmungsradien. Die Sätze von Euler 
und Meusnier. 
Mittels des Schmiegungsparaboloids 
(1) 
2£ = -, + - 
lassen sich noch gewisse metrische Größen definieren, die 
für einen Flächenpunkt charakteristisch sind, nämlich die 
Krümmungsradien der ebenen Schnittkurven, die 
man erhält, wenn man durch den Flächenpunkt alle mög 
lichen Ebenen legt. 
Wir bestimmen zuerst die Krümmungsradien der 
Normalschnitte, d. h. (vergl. S. 66) der ebenen Schnitt 
kurven, deren Ebenen durch die Flächennormale (£-Achse) 
gehen. Zu diesem Zweck drehen wir das Koordinatensystem 
um die f-Achse um den Winkel cp. Bezeichnen wir die 
neuen Koordinaten mit £', rj', £', so ist 
£=£' cos cp — tj' sin cp, r] = sin 99+ cos 99, £=£'. 
Das Schmiegungsparaboloid erhält dann die Gleichung 
(2) 
0> ., (£' cos cp 7]' sin cp) 2 
— Z9 
(£' sin Cp-\-7]' COS CpŸ 
*) Yergl. S. S. VITT, Simon, Analytische Geometrie der Ebene, 
§§ 30 u. 31.