§ 18. Hauptkrümmungsradien. Die Sätze von Euler etc. 77 
haben; die Bedeutung hiervon ist, daß in elliptischen 
Punkten die beiden zugehörigen Krümmungsmittelpunkte 
{M x und M 2 in Fig. 11) auf derselben, in hyperbolischen 
Punkten auf entgegengesetzten Seiten der Fläche liegen; 
denn in elliptischen Punkten liegen die beiden Parabeln, 
welche von der ££- und ?^C-Ebene aus dem Schmiegungs- 
paraboloid ausgeschnitten werden, beide mit der Öffnung 
nach derselben Seite der Fläche (wie in Fig. 11), in hyper 
bolischen Punkten nach entgegengesetzten. In para 
bolischen Punkten endlich ist einer der beiden Haupt 
krümmungsradien, B t oder B 2 , unendlich, je nachdem a 2 oder 
ß 2 unendlich ist. Wir setzen nun fest, daß ein Krümmungs 
radius dann als positiv gelten soll, wenn der zugehörige 
Krümmungsmittelpunkt auf der positiven Seite der Normalen 
liegt, andernfalls negativ (vergl. § 15, Schlußanmerkung), 
Statt der Hauptkrümmungen und •=- benutzt man 
Xll Xl 2 
häufig ihre einfachsten symmetrischen Funktionen, nämlich 
(8) 
l + l 
B l B 2 
Je 
1 
B 1 B 2 
Der Wert Ji heißt die mittlere Krümmung, Je das 
Krümmungsmaß der Fläche im Punkte P. Inwiefern das 
Produkt Je der Hauptkrümmungen als Maß für die Krümmung 
der Fläche in dem betreffenden Punkt bezeichnet werden 
darf, wird sich weiter unten (§ 22) zeigen. Beide Werte, 
Ji und Je, spielen eine wichtige Rolle in der Flächentheorie, 
Ji ist zugleich in der mathematischen Physik (besonders 
Kapillarität) von Bedeutung. — Nach dem Früheren ist das 
Krümmungsmaß Je positiv in elliptischen, negativ in 
hyperbolischen, Null in parabolischen Punkten der Fläche. 
Wir suchen noch die Normalschnitte, welche un 
endlich große Krümmungshalbmesser haben, Setzen 
w ir B = oo, so folgt aus (4) für den Winkel cp die Gleichung 
cos 2 cp 
sin 2 cp 
~ß 
oder 
(9)