§ 19. Geometrische Betrachtungen und Definitionen. 83 
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Hauptkrümmungsrichtungen in einem Punkt 
einer Fläche sind diejenigen zwei Richtungen, die 
zugleich konjugiert und orthogonal sind. 
Asymptotenrichtungen in einem Punkt einer 
Fläche sind diejenigen zwei Pichtungen, in welchen 
jedesmal zwei konjugierte Richtungen zusammen 
fallen. 
Damit sind nun auch die Hauptkrümmungsrich 
tungen und Asymptotenrichtungen unabhängig von 
der Indikatrix und für jede beliebige Lage des Koordinaten 
systems definiert. Die so charakterisierten, von einem be 
liebigen Flächenpunkt ausgehenden Richtungen dienen nun 
weiter zur Definition gewisser Kurven Systeme auf der 
Fläche. 
Denkt man sich in allen Punkten einer Fläche die 
zwei Hauptkrünunungsrichtungen durch Bogenelemente auf 
der Fläche bestimmt, und diese Bogenelemente zu Kurven 
aneinandergeschlossen, so erhält man auf der Fläche zwei 
Kurvensysteme, die sich überall rechtwinklig durchschneiden. 
Diese Kurvensysteme heißen die Krümmungslinien der 
Fläche. Durch jeden Punkt P der Fläche gehen zwei Krüm 
mungslinien, deren Tangenten die Hauptkrümmimgsrichtungen 
in P angeben. 
In derselben Weise bestimmen die in allen Flächen 
punkten konstruierten Asymptotenrichtungen zwei Kurven 
systeme, welche die Asymptotenlinien (auch Haupttan 
gentenkurven) der Fläche heißen. Durch jeden hyperbolischen 
Flächenpunkt P gehen zwei Asymptotenlinien; ihre Tan 
genten geben die Asymptotenrichtungen in P an. 
Von den Krümmungslinien läßt sich noch eine wichtige 
Eigenschaft nachweisen, die sich an die Bestimmung der 
Krümmungsradien der Normalschnitte anschließt. Der 
Krümmungsradius r einer ebenen Kurve in einem Punkt P 
wird bekanntlich konstruiert, indem man die Normale des 
Punktes P mit der Normalen des nächstfolgenden Punktes P' 
zum Schnitt bringt. Der Schnittpunkt ist der Krümmungs 
mittelpunkt, sein Abstand von P der Krümmungsradius. 
Wendet man dies auf einen beliebigen Normalschnitt einer 
Fläche in einem Punkt P an, so hat man die Normale der 
Schnittkurve in P mit der Normalen im nächstfolgenden 
Punkt zu schneiden. Nun ist die Normale der Schnitt