84 II. Abschnitt. Flächen in der Form F{x, y, z) = 0. 
kurve in P zugleich die Normale der Fläche in P, da 
gegen ist die Normale der Schnittkurve in P' nicht zu 
gleich die Normale der Fläche in P'. Um dies zu beweisen, 
konstruieren wir (s. Fig. 13) in dem zu P unendlich be 
nachbarten Flächenpunkt A die Normale AN der Fläche 
(bezw. des Schmiegungsparaboioids) und zeigen, daß diese 
die Normale des Punktes P, d. h. die C-Achse im allgemeinen 
nicht schneidet (was offenbar der Fall sein müßte, wenn AN 
zugleich die Normale der ebenen Schnittkurve APC 
wäre), sondern nur, wenn A einer der Scheitel der Indika- 
trix ist. Die Flächennormale in A liegt offenbar in der 
Ebene, die senkrecht zu der Indikatrixtangente FF durch A 
gelegt wird; diese Ebene ist parallel der £-Achse und ent 
hält auch die Normale AN' der Indikatrix in A. Letztere 
geht aber nicht durch den Mittelpunkt der Indikatrix, außer 
wenn A einer der Scheitel ist, also geht auch die Ebene 
N AN' nicht durch die £-Achse. 
Alle Geraden in dieser Ebene, mithin auch die Flächen 
normale AN, sind also zur £-Achse windschief, wenn nicht 
A einer der Scheitel der Indikatrix ist. Ist letzteres aber 
der Fall — befinden wir uns also auf einem Hauptschnitt — 
so trifft die Flächennormale in A notwendig die £-Achse. 
Wir haben also den 
Satz. Die Normale eines Flächenpunktes P 
wird nur von denjenigen Nachbarnormalen ge 
schnitten, deren Fußpunkte in den Hauptkrüm- 
mungsrichtungen liegen. 
Zusatz 1. Die Richtung PP' auf der Fläche ist 
dann und nur dann eine Hauptkrümmungsrich- 
tung, wenn die Flächennormalen in P und P' sich 
schneiden. 
Zusatz 2. Die Krümmungslinien einer Fläche 
sind diejenigen Kurven, längs deren die konseku 
tiven Flächennormalen sich schneiden. 
Oder 
Die längs einer Krümmungslinie errichteten 
Flächennormalen bilden eine abwickelbare Fläche. 
Beispiel. Auf einer Rotationsfläche bilden die Meri 
diane das eine, die Parallelkreise das andere System von 
Krümmungslinien.