§ 20. Sphärische Abbildung einer Fläche; Formeln etc. 85 
§ 20. Sphärische Abbildung einer Fläche; Formeln 
für die Richtungshosinus der Normalen. 
Auf Grund der geometrischen Definitionen des § 19 
lassen sich die Bedingungsgleichungen der konjugierten 
Richtungen, der Krümmungslinien und Asymptotenlinien 
sowie die Werte der Hauptkrümmungsradien für die all 
gemeine Flächenform F(x,y,z) = 0 leicht entwickeln. In 
diesen Entwicklungen sind, wie sich zeigen wird, die in § 15, 
Gl. (22) aufgestellten Richtungskosinus der Flächennormalen 
(1) a=VF x , b=VF 2 , c=VF 3 
von besonderer Wichtigkeit. Wir schicken daher in diesem 
Paragraphen einige geometrische Betrachtungen, sowie ver 
schiedene später zu benutzende Formeln für diese Größen 
voraus. 
In § 3 wurde gezeigt, wie man das sphärische Bild 
einer Raumkurve mit Hilfe ihrer Tangenten konstruiert. 
In analoger Weise läßt sich das sphärische Bild eines 
beliebigen Flächenpunktes P(x,y,z) herstellen, indem man 
zu der positiven Richtung seiner Normalen eine Parallele 
durch den Ursprung des Koordinatensystems zieht und 
diese mit der Einheitskugel zum Schnitt bringt. Der 
Schnittpunkt heißt das sphärische Bild des Punktes P, 
und hat offenbar die Koordinaten a, b, c. Man kann auf 
diese Weise beliebige Punkte und Kurven der Fläche auf 
die Einheitskugel abbilden und erhält so die sphärische 
Abbildung der Fläche. Der analytische Ausdruck dieser 
Abbildung sind die Gleichungen (1), welche a, b, c, d. h. die 
Koordinaten des sphärischen Bildes, in Funktion der Ko 
ordinaten x, y, z des Flächenpunktes darstellen, so daß zu 
jedem Koordinatentripel x, y, z ein entsprechendes a, b, c ge 
hört. Man bezeichnet auch a, b, c kurz als die sphärischen 
Koordinaten des Flächenpunktes P (x,y,z). Die Koordi 
naten x, y, z legen den Flächenpunkt fest, a, b, c die Rich 
tung seiner Normalen. 
Es zeigt sich nun im folgenden, daß sich alle für 
die Untersuchung einer Fläche F(x,y,z) = 0 wich 
tigen Größen und Gleichungen besonders einfach 
darstellen, wenn man nur die Koordinaten x, y, z des 
Flächenpunktes und deren Differentiale und die zu-