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§ 15. Mainardische (Codazzische) Gleichungen. 
Es ist also für diese Flächen 
(9) 
1,1 _ . 
-5- + T) —h — konst, 
iti H-2 
Wir führen als Pararaeterkurven die Krümmungs 
linien ein; es ist dann nach (7) 
oder integriert 
(10) 
dB 
h dE 
dB" 
h dG 
dv 
~2 dv ’ 
du 
2 du 
B 
h lJ 
B" 
h V 
E~ 
2 'E } 
G ~ 
2 + a- 
wo U eine Funktion von u allein, V eine solche von v 
allein bedeutet. Durch Addieren folgt nach (6) 
oder, wenn X einen Proportionalitätsfaktor bedeutet, 
(11) E = XÜ, G = — XV. 
Das Linienelement der Fläche lautet also 
ds 2 = X(JJ du 2 — Vdv 2 ). 
Führt man fl/Udu und / y— Vdv als neue Parameter 
ein, die der Einfachheit halber wieder mit u und v bezeichnet 
seien, so erhält das Linienelement die Form 
ds 2 = X (du 2 + dv 2 ), 
wo X natürlich eine andere Funktion bedeutet, als in (11). 
Hieraus folgt nach § 7, Satz 2 
Satz 2. Auf den Flächen konstanter mittlerer 
Krümmung sind die Krüramungslinien isometrisch. 
Durch diese Wahl der Parameter ist also E= G = X, 
also nach (11) U—l, V= — 1. Mit Benutzung von (10) 
lassen sich jetzt alle sechs Fundamentalgrößen folgender 
maßen durch X ausdrücken. 
E=X, F= 0, G = X, 
D = y +1, D' = 0, = 1. 
(12)