94 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Geht man mit diesen Werten in (8) ein, so erhält man 
zur Bestimmung von X die partielle Differentialgleichung 
zweiter Ordnung 
<9 2 lg2 <9 2 lg>l 2 Ji 2 X 
du 2 dv 2 X 2 
Das allgemeine Integral dieser Gleichung ist nur für 
den speziellen Fall h = 0 (Minimalflächen) gefunden. Jedes 
partikuläre Integral liefert sechs Fundamentalgrößen, welche 
nach dem Bonnetschen Satz eine Fläche eindeutig be 
stimmen. Das ganze Problem ist daher auf die Integration 
der Gleichung (13) zurückgeführt. 
Als zweite Anwendung behandeln wir die analoge Auf 
gabe, die sechs Fundamentalgrößen für die Flächen 
von konstantem negativen Krümmungsmaß aufzu 
stellen. 
Wir wählen die Asymptotenlinien als Parameter 
kurven und setzen der Einfachheit halber Tc= — 1. Es ist 
dann nach § 8, (7) und (14) 
D = D" = 0, D' = A. 
Aus den Gleichungen (1) und (2) folgt 
d log A t 6 log A 
du 
--p — q, 
dv 
q' — p 
und hieraus, sowie nach § 1, (23) 
(15) p' = q f = 0. 
Aus (15) und § 1, (22) folgen nun m' = n' = 0, also 
djjj d G 
nach 8 1, (21) -tt— = 0 und -tt— = 0. F ist also reine Funktion 
v dv du 
von u, G reine Funktion von v. Wählt man die Parameter 
passend, so kann man E=G=1 setzen. Bedeutet weiter 
2 co den Winkel, den die Asymptotenlinien miteinander 
bilden, so ergibt sich aus § 1, (18) F—cos 2 co, A = sin2co. 
Man hat also 
(16) 
F—l, F — cos2 o), G=l, A = sin 2 co; 
D = 0, D' = sin 2 co, B" = 0.