§17. Die allgemeine Flächenkurve. Differentialparameter. 99 
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(H) 
cos 
COS $2 
Fdu-\-Fdv 
ds]/W~~ ’ 
Fdu-\~ Gdv 
ds]iG ’ 
sin 
sin # 2 
A dv 
ds]/W’ 
Adu 
ds^G ’ 
Hierbei war stets vorausgesetzt, daß die Richtung einer 
Flächenkurve gegeben sei durch das Verhältnis der Diffe 
rentiale du: dv. Ist nun die Gleichung einer Flächenkurve 
(12) 
cp {u, v) = a, 
wo a eine Konstante ist, und sollen für diese Form der 
Kurvengleichung die in (5)—(11) definierten Größen gebildet 
werden, so ist es für die unmittelbare Anwendung bequemer, 
die Gleichungen (5)—(11) in einer Form zu haben, die statt 
der Differentiale du, d 2 u und dv, d 2 v die partiellen 
Ableitungen von cp enthält. Um diese einzuführen, diffe 
renzieren wir (12) und erhalten 
(13) 
CU dv 
oder 
6 cp 
(14) 
du dv 
dv~ Sy' 
du 
Die Gleichung (13) oder (14) ist zugleich die Differential 
gleichung der Kurvenschar, die durch (12) dargestellt ist, 
wenn dort a einen variablen Parameter bedeutet. Aus (14) 
folgt nun, daß wir setzen können 
(15) 
du, — X 
6 cp 
dv ’ 
dv 
ocp 
CU 
wo X einen (natürlich unendlich kleinen) Proportionalitäts 
faktor bedeutet. Durch Differenzieren von (14) erhält man 
ähnlich auch die zweiten Differentiale durch die Ableitungen 
von cp nach u und v ausgedrückt. 
Es lassen sieh nun durch (15) in den Gleichungen (5) 
bis (11) überall die ersten und zweiten Differentiale von u 
und v ersetzen durch die partiellen Ableitungen erster und 
zweiter Ordnung von cp. Die vier Differentialformen ds 2 , 
L, M, N nehmen hierbei folgende Formen an