§ 17. Die allgemeine Flächenkurve. Differentialparameter. 103 
Setzt man diesen Wert in (26) ein, so folgt 
(29) 
E 
ÜCp 
dv 
-2 F^+a№ 
dv du ’ \du 
E l G x — F\ 
EG — F 2 
\dv x ) dv x du x \du x 
Die linke Seite ist aber der oben (19) zur Abkürzung 
mit A'cp bezeicbnete Ausdruck; derselbe geht also durch 
die Transformation (22) in den ganz entsprechend in E x , F x , G x 
und cp x gebildeten über, der mit Afcp x bezeichnet sei, oder 
\'cp ist gegenüber einer Transformation der Para 
meter invariant. Würde man also in die linke Seite von 
(29) mittels (22) statt u, v die Parameter u x , v x einführen, 
so erhielte man einen Ausdruck in u x v x [die rechte Seite 
von (29)]; diesen erhält man aber viel einfacher, wenn man 
die linke Seite von (29) für die transformierte Funktion cp x 
und das transformierte Linienelement bildet: dies ist der 
Inhalt von (29). A'<p heißt nach Beltrami der Diffe 
rentialparameter erster Ordnung. Beltrami definiert 
als Differentialparameter allgemein eine Funktion von 
der Form 
f[e,F,G; (p,y,x 
d<p dtp d% dqp dxp d% 
du’ du’ du ’ dv’ dv’ dv 
d. h. eine Funktion, gebildet aus den Fundamentalgrößen 
erster Ordnung E, F, G und einer Anzahl willkür 
licher Funktionen cp, xp, % . . . von u und v nebst ihren 
partiellen Ableitungen nach u und v, die gegenüber einer 
Transformation der Parameter u und v invariant ist, 
d. h. durch eine Transformation von der Form (22) in eine 
Funktion übergeht, die in ganz derselben Weise aus E x , F x , G x ; 
cp x , tp x , X\ usw. gebildet ist. 
Außer dem Differential parameter A'cp sind noch folgende 
zwei von besonderer Wichtigkeit. 
1) Der sogenannte Zwischenparameter, oder ge 
mischte Parameter zweier Funktionen cp und xp