106 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Daher ist 
(2) 
Nunmehr sei für beliebige Parameter u,v die geo 
dätische Krümmung einer Flächenkurve cp (u, v) = a zu be 
rechnen. Das Linienelement hat also nun die allgemeine 
Form 
(3) 
ds 2 = JE du 2 -f- 2 Fdu dv + Gdv 2 . 
Wir führen nun das System der Kurven cp [u, v) = a und 
ihre Orthogonaltrajektorien xp (u,v) = b als Parameterkurven 
ein; die Transformationsformeln sind 
cp (u, v) — u y , 
xp {u, v) = v x . 
(4) 
Hierdurch erhält das Linienelement die Form 
ds 2 = JE t du\ -f- G 1 dv 2 ' 
Die geodätische Krümmung der Kurven u t = const ist 
also nach (2) 
wo die DHFerentialparameter Af usw. in den Koeffizienten 
EG t gebildet sind. 
Gehen wir nun vermöge der Transformationsformeln (4) 
wieder zu den ursprünglichen Parametern zurück, so geht u ± 
in die Funktion cp (u, v) über, während gleichzeitig an Stelle 
von E 1 und G t wieder die ursprünglichen Koeffizienten 
E, F, G eintreten. Aus der Definition der Differential 
parameter folgt aber, daß es gleichgültig ist, ob man die 
Differential parameter in (5) in Beziehung auf das ursprüng 
liche Linienelement (3) und die ursprüngliche Funktion cp [u, v) 
= a oder in Beziehung auf das transformierte Linienelement 
und die transformierte Funktion u y =a bildet. Man hat also 
in (5) an Stelle von u x die Funktion cp zu setzen, während 
die in E ± , F x und G t gebildeten Differentialparameter durch 
die in E, F.' G gebildeten zu ersetzen sind. Es ist also all 
gemein die geodätische Krümmung jeder Kurve der 
Schar cp(u, v) = a ausgedrückt durch