108 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
(10) 
ds 2 
A' xp dcp 2 —2y (cp,xp) dcp dtp -f- A' cp dip 2 
ü\<P, W) 2 
Ans (10) fließen unmittelbar die Sätze 
Satz 4. Die Bedingung dafür, daß die Kurven 
systeme Ço{u,v) = a und xp{u,v)=b auf der Fläche 
überall sich orthogonal schneiden, ist 
V {<P* w) = °- 
Satz 5. Die Bedingung dafür, daß die Kurven 
cp(u,v) — a ein System von Minimallinien bilden, ist 
A' cp = 0. 
Wh- fragen weiter nach der Bedingung dafür, daß die 
Kurven cp(u,v) = a ein System von geodätischen Paral 
lelen bilden. 
Um diese Frage zu beantworten, nehmen wir an, daß 
die Kurven xp{u,v)=b die Orthogonaltrajektorien der Kurven 
cp(u,v) = a seien. Hierdurch erhält nach § 17, (33) das 
Linienelement (10) die Form 
(H) 
r1^._ d( P 2 | 
A'cp + A> ‘ 
Nach der in § 13, Satz 1 aufgestellten Bedingung folgt, 
daß A' (99) = F(99) sein muß, wenn die Kurven cp —a ein 
System geodätischer Parallelen sind, und daß A' (99) — 1 sein 
muß, wenn cp den Bogen der zugehörigen geodätischen Linien 
bedeutet. Wir erhalten somit 
Satz 6. Die Bedingung dafür, daß die Kurven 
9o{u,v) = a ein System geodätischer Parallelen bilden, 
A'99 = F [cp). 
Bedeutet insbesondere cp den Bogen der zu 
gehörigen geodätischen Linien, so ist 
A'99 = 1. 
Daraus ergibt sich ein Weg zur Auffindung der geo 
dätischen Linien einer Fläche. Zunächst ist die Differential 
gleichung A'99=l, oder ausführlicher geschrieben 
(12) 
E 
Ô cp 
öv 
2 fW + g- 
CV CU 
d cp 
du, 
=EG— F 2