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§ 1. Fundamentalgrößen erster Ordnung. 
eintragen: die Koordinaten x, y, z sind dann Funktionen des 
Parameters u allein, und die Gleichungen stellen daher eine 
Kurve dar. 
Ein Beispiel dieser Darstellung einer Fläche war schon 
in Bd. I, § 23 da, wo die Punkte einer Mittelpunktsfläche 
zweiter Ordnung durch die elliptischen Koordinaten y und v 
dargestellt waren. Als ein weiteres Beispiel möge die 
Gleichung einer allgemeinen Rotationsfläche (vgl. 
Fig. 19) dienen. Die Rotationsachse sei die Z-Achse. Da 
jeder Parallelkreis der AE-Ebene parallel ist, ist z nur 
vom Radius desselben, der 
mit u bezeichnet sei, ab 
hängig. Ein Punkt P der 
Fläche ist nun bestimmt, 
wenn man den Radius u 
seines Parallelkreises und 
den Winkel v kennt, den 
die Ebene seines Meridians 
mit der AE-Ebene bildet. 
Die Gleichungen der Rota 
tionsfläche sind also 
(5) 
x = u cosv, y = u smv, 
z = f{u). 
u = konst. ergibt einen Pa 
rallelkreis, «; = konst. einen 
Meridian der Fläche. Die 
Parameterkurven sind also 
hier die Meridiane und Pa 
rallelkreise. Setzt man v=0, 
so erhält man den Meridian, 
der in der AE-Ebene liegt; 
die Gleichungen desselben 
sind 
x = u, y = 0, z = f (u), 
oder durch Elimination von u 
z = f{x), y= 0. 
Eliminiert man aus (5) u und v, so erhält man die 
Gleichung der Rotationsfläche in der Form 
z = f{lx 2 + y*). 
Fig. 19. 
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