112 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
Hier sind nun wieder dieselben drei Fälle möglich wie 
oben. Im ersten und zweiten läßt sich die Frage der De 
formierbarkeit ebenso erledigen, wie oben; es bleibt also 
nur noch der Fall übrig, daß auch (7) von (4) abhängig ist, 
d. h. daß auch 
(8) A "k = <p{k), AUi = <p(h) 
ist; dann läßt sich aber zeigen, daß beide Flächen auf 
eine und dieselbe Rotationsfläche, also auch auf 
einander abwickelbar sind. Bei der Abwicklung auf 
die Rotationsfläche gehen dabei die Kurven konstanten Krüm 
mungsmaßes in die Parallelkreise über. 
Aus (6) folgt nämlich nach § 18, Satz 6, daß die 
Kurven konstanten Krümmungsmaßes Je — konst. geodätisch 
parallel sind. Wir nehmen daher auf beiden Flächen diese 
Kurven und ihre Orthogonaltrajektorien als Parameterkurven. 
Bezeichnen wir der Einfachheit halber auch die neuen Para 
meter mit u und v, bezw. u x und v x und bedeuten u und u x 
die Bogen der zugehörigen geodätischen Linien, so erhalten 
wir nach § 13, Satz 1 für die beiden Linienelemente 
(9) ds 2 = du 2 -f- G dv 2 , 
(10) ds\ = du\ + G x dv[, 
wo jetzt die Kurven u — konst. bezw. u x = konst. die Kurven 
konstanten Krümmungsmaßes sind. 
Die Bedingungen (4), (6) und (8) lauten nun 
Je (w) = Je x [u x ), 
(11) A / u = f(u), A [u 1 =f{u 1 ), 
A"u = cp (m) , A" u x = cp (%), 
wobei die Diflferentialparameter für (9) und (10) zu bilden 
sind. Dann ist aber nach § 17, (31), wie man leicht nach 
rechnet, 
A "u 
dl g]/£ 
du 
<p{u) 
und hieraus durch Integration 
6r = e 2 /y c i 
ds 2 = du 2 + e 2 l (p{u)du {Vdv) 2 ,