4 I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Paranieterform. 
Für die Kugel (Radius r) insbesondere nehmen die 
Gleichungen (5) die Form 
x = ucosv, y = usinv, z = ^r 2 — u 2 
an. 
Wir kehren nun zu unsern allgemeineren Betrachtungen 
zurück und beginnen mit der Übertragung der Formeln 
Bd. I, § 15, indem wir zunächst das Linienelement ds 
der Fläche durch u und v ausdrücken. 
Ist P ein Punkt der Fläche mit den Parameterwerten u, v 
und den rechtwinkligen Koordinaten x, y, z, und ist P' ein 
unendlich benachbarter Punkt der Fläche mit den Parameter 
werten u-\-du, v + dv und den rechtwinkligen Koordinaten 
x-\-dx, y~\-dy, z-\-dz, so sind die Differentiale dx, dy, dz 
nach (1) bestimmt durch die Gleichungen 
(6) 
Bz Bz 
Das Linienelement PP' = ds war nach Bd. I, § 15, (7) 
gegeben durch die Gleichung 
ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 . 
Durch Einführung der Werte aus (6) erhält man für 
ds einen Ausdruck in u, v und du, dv, der von der Form 
(7) ds 2 = Edu 2 + 2 Fdudv + G dv 2 
ist, wo zur Abkürzung 
(8) 
gesetzt ist. 
Die Ausdrücke E, F, G sind für die folgenden Unter 
suchungen von größter Wichtigkeit und heißen, da sie nur 
die ersten Ableitungen von x, y, z nach u, v enthalten, 
Fundamentalgrößen erster Ordnung. Wir setzen weiter 
zur Abkürzung